Сепарабельное расширение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Сепара́бельное расшире́ние - алгебраическое расширение поля EÉ K, состоящее из сепарабельных элементов т.е. таких элементов α, неприводимый многочлен f(x) над K для которых не имеет кратных корней. Производная f'(x) должна быть по вышеуказанному ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики p.
Для конечных расширений имеем следующую теорему:
Если KÌ EÌ K*, где K* - алгебраическое замыкание поля К, то E сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов σ E в алгебраическое замыкание K* над K равно степени [E:K]. В случае несепарабельных расширений это число является делителем [E:K] и называется сепарабельной степенью [E:K]s (частное равно некоторой степени характеристики).
[править] Свойства сепарабельных расщирений
Пусть KÌ EÌ F. Если EÉ K и FÉ E сепарабельны, то и FÉ K сепарабельно. Обратно, если FÉ K сепарабельно, то и EÉ K и FÉ E сепарабельны.
Если EÉ K сепарабельно, то для любого расширения FÉ K (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является сепарабельным расширением F.
Теорема о примитивном элементе:
Если E=K(α1,α2...αn), где α1 алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над K, а α2...αn - алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент θ, что E=K(θ) (т.н. примитивный элемент).
[править] Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения
Вначале введём понятие линейной свободы двух расширений EÉ K и LÉ K. E называется линейно свободным от L над K, если любое конечное множество элементов E линейно независимое над K остаётся линейно независимым и над L. Легко доказывается симметричность этого определения: если E линейно свободно от L над K, то и наоборот, L линейно свободно от E над K.
Обозначим — расширение поля, порождённое присоединением всех корней степени pm из элементов K. Расширение E над K называется сепарабельным, если E для некоторого натурального m линейно свободно от над K. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. Можно доказать, что от числа m данное определение не зависит и равносильно линейной свободе E и — композиту всех (т.н. критерий Маклейна)
[править] Литература
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967