See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Многосеточный метод — Википедия

Многосеточный метод

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Многосеточный (МС, англ. multigrid) метод — метод решения системы линейных алгебраических уравнений, основанный на использовании последовательности уменьшающихся сеток и операторов перехода от одной сетки к другой. Сетки строятся на основе больших значений в матрице системы, что позволяет использовать этот метод при решении эллиптических уравнений даже на нерегулярных сетках.

[править] Основы метода

Предположим, что необходимо решить систему вида

Au = f,

где A —  n \times n матрица с элементами aij. Для удобства сопоставим индексы с узлами сетки, таким образом ui представляет собой значение u в узле i. Множество узлов сетки обозначим как  \Omega=\left\{1,\,2,\,\dots,\,n\right\} . Основная идея многосеточных методов состоит в том, что ошибка e, которая не может быть устранена методами релаксации, должна быть убрана с помошью коррекции из решения на грубой сетке.

Используя верхний индекс в качестве номера уровня введем следующие обозначения:

  • Последовательность сеток  \Omega = \Omega^1 \supset \Omega^2 \supset \dots \supset \Omega^M , при чем \Omega^k = C^k \cup F^k,\quad C^k \cap F^k = \emptyset, \quad \Omega^{k+1} \equiv C^k.
  • Сеточные операторы A=A^1,\,A^2,\,\dots,\,A^M .
  • Операторы интерполяции  P^k, k=1,\,2,\,\dots,\,M-1.
  • Операторы сглаживания  S^k, k=1,\,2,\,\dots,\,M-1.

Все эти компоненты многосеточного метода строятся на первом этапе, известном как этап построения

Этап построения
  1. Приравнять k = 1.
  2. Разделить Ωk на непересекающиеся множества Ck и Fk.
    1. Приравнять Ωk + 1 = Ck.
    2. Построить оператор интерполяции Pk.
  3. Построить  A^{k+1}=\left(P^k\right)^T A^k P^k.
  4. Построить если необходимо Sk.
  5. Если сетка Ωk достаточно мала, приравнять M = k + 1 и остановится. Иначе k = k + 1 и переход на шаг 2.

Как только этап построения завершен, может быть определен рекурсивный цикл построения решения:

Алгоритм:  MGV \left(A^k,\, P^k,\, S^k,\, u^k,\, f^k\right)
Если k = M, решить AMuM = fM используя прямой метод.
Иначе:
Применить метод релаксации Sk μ1 раз к Akuk = fk.
Произвести коррекцию на грубой сетке:
Вычислить rk = fkAkuk.
Вычислить r^{k+1} = \left(P^k\right)^T r^k.
Применить MGV \left(A^{k+1},\, P^{k+1},\, S^{k+1},\, e^{k+1},\, r^{k+1}\right).
Обновить решение uk = uk + Pkek + 1.
Применить метод релаксации Sk μ2 раз к Akuk = fk.

Вышеприведенный алгоритм описывает V\left(\mu_1,\,\mu_2\right)  — цикл.

Выбор последовательности сеток и оператора интерполяции являются наиболее важными элементами этапа построения и во многом определяют качество многосеточного метода. Критерием качества являются две измеряемые величины:

  • фактор сходимости — показывающий насколько быстро сходится метод, то есть какое количество итераций требуется для достижения заданной точности;
  • сложность оператора — определяющей количество операций и объем памяти необходимой для каждой итерации метода.

Сложность оператора Cop рассчитывается как отношение количества ненулевых элементов во всех матрицах A_k,\, k = 1,\,2,\,\dots,\,n к количеству ненулевых элементов в матрице первого уровня A1 = A.

На других языках


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -