Матрицы Паули

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Вот эти матрицы:

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix},$

$\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix},$

$\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.$

Вместо $σ 1,σ 2,σ 3$ иногда используют обозначение $σ x,σ y,σ z .$

Часто также употребляют матрицу

$\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix},$

совпадающую с единичной матрицей.

Матрицы Паули вместе с матрицей $σ 0$ образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Содержание

1 Свойства
- 1.1 Основные соотношения
- 1.2 Связь с алгебрами Ли
2 Применение в физике
3 Ссылки

[править] Свойства

[править] Основные соотношения

Эрмитовость и равенство нулю следа:

$\begin{matrix} \sigma_i^\dagger &=& \sigma_i; & \\ \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0, & \quad \ i = 1, 2, 3; \end{matrix}$

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0= I,$

где знак $\dagger$ означает эрмитово сопряжение, $I = σ 0$ — единичная матрица размерности 2×2.

Правила умножения матриц Паули

$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,\,\!$

$\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,\,\!$

$\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,\,\!$

$\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\!$ для $i\ne j.\,\!$

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

$\sigma_i \sigma_j = i \epsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad i = 1, 2, 3$ ,

где $δ i j$ — символ Кронекера, а ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0. \end{matrix}$

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Детерминант матриц Паули равен −1.

[править] Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц $i\sigma_k\!$ совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц $i\sigma_k\;.$ Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства, этим объясняется важность матриц Паули для физики.

[править] Применение в физике

В квантовой механике матрицы $i\sigma_j/2\!$ представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

[править] Ссылки

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5

Категории: Квантовая механика | Группы Ли

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Матрицы Паули

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Свойства

[править] Основные соотношения

[править] Связь с алгебрами Ли

[править] Применение в физике

[править] Ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках