Pauli-Matrizen

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Die Pauli-Matrizen $σ i$ sind nach dem Physiker Wolfgang Pauli benannt. Sie bilden eine Basis der hermiteschen, spurfreien 2×2–Matrizen und stellen die Wirkung der Drehimpulsoperatoren $S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma _i$ auf Spin-1/2-Zuständen, beispielsweise auf Elektronen, dar.

Die Pauli-Matrizen lauten

$\sigma _ 1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,, \quad \sigma _ 2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix}\,, \quad \sigma _ 3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\,.$

Sie erfüllen die Algebra

$\sigma_i \, \sigma_j = \delta_{ij} + \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,$

also insbesondere bis auf einen Faktor 2 die Drehimpulsalgebra

$[\sigma_i\, ,\sigma_j] = 2\, \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,$

und die Clifford- oder Dirac-Algebra $Cl(0,3,\mathbb R)$

$\sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \delta_{ij}\,.$

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall $l = 1 / 2$ von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren $Λ m$ eines Drehimpuls- $l$ -Multipletts mit Quantenzahlen $m$ in Maßsystemen mit $\hbar=1$ folgendermaßen wirken

$L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,$

$L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,$

$L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.$

Dabei ist $2 l + 1$ eine natürliche Zahl und für $m$ treten die $2 l + 1$ verschiedenen Quantenzahlen $m=-l,-l+1,\dots ,l$ auf. Für $l = 1 / 2$ wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren $Λ 1 / 2$ und $Λ - 1 / 2$ demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

$L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,,\ L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,,\ L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.$

Mit $L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-)$ und $L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-)$ ergibt sich dann, daß die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

[Bearbeiten] Zugeordnete Drehgruppe

Die drei Pauli-Matrizen $σ i$ , mit der zugehörigen Lie-Algebra, erzeugen die komplexe Drehgruppe $SU(2)$ mit Elementen

$\exp\bigl(-\mathrm i\,\frac{\alpha}{2}\mathbf \sigma\,\cdot \mathbf n\bigr) = \cos\frac{\alpha}{2}\mathbf{1} - \mathrm i \sin\frac{\alpha}{2} \sigma\,\cdot \mathbf n$

wobei die Drehachse $\mathbf n$ ein Einheitsvektor im $\mathbb R^3$ ist und $α$ der Drehwinkel, der von 0 bis $4\pi\,$ läuft. In der Tat ergibt sich $\exp\bigl(-\mathrm i\,\pi\mathbf \sigma\,\cdot \mathbf n\bigr) = -\mathbf 1$ . Erst die Drehung um $4π$ reproduziert jeden Spin-1/2-Zustand.