Корневая система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья описывает корневую систему в математике, для описания корневой системы растений смотрите - корень.

В математике, корневая система это конфигурация векторов в Евклидовом пространстве удовлетворяющая определенным геометрическим свойствам. Эта фундаментальная концепция в теории групп Ли. С тех пор как группы Ли (и некоторые другие аналоги, как например алгебраические группы) вошли во многие разделы математики в течении двадцатого века, вероятно особенная природа корневой системы противоречила со множеством областей в которых они применялись. Далее, классификация корневых систем по диаграммам Дынкина, происходит в разделах математики с не явным сопряжением с группами Ли (такими как в теории сингулярностей).

Содержание

1 Определение
2 Классификация корневых систем по диаграммам Дынкина
3 См. так же
4 Ссылки

[править] Определение

Пусть V конечноразмерное Евклидово пространство, с обычным скалярным произведением обозначаемое, как (·,·). Корневая система в V это конечное множество Φ ненулевых векторов (называемых корными), которые удовлетворяют следующим свойствам:

Целостное условие для <α, β> сил β для пребывания на одной из вертикальных линий. Комбинирование этого с целостным условиями для <β, α> вероятность угла между α and β в будущем уменьшается не больше чем две вероятности каждой вертикальной линии.

Корни являются линейной оболочкой V
Только скалярное произведение корня α ∈ Φ есть сам α и −α.
Каждый корень α ∈ Φ, множество Φ закрыто под отражением сквозь гиперплоскость перпендикулярно α. То есть, для любых двух корней α и β, множество Φ содержит отражение β,

$\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi.$
(Целостное условие) Если α и β есть корни в Φ, тогда проекция β на линию через α есть половинчатое умножение α. То есть,

$\langle \beta, \alpha \rangle = 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z},$