Конечная p-группа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Эту статью следует викифицировать.
Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.
|
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Содержание |
[править] Основные свойства конечных p-групп
Определение. Группа называется конечной p-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.
Теорема. Пусть P — конечная p-группа, тогда
- P — нильпотентна.
- | Z(P) | > 1.
- Для любого в P существует нормальная подгруппа порядка pk.
- Если H нормальна в P, то .
- .
- .
[править] Некоторые классы конечных p-групп
В данном разделе описаны определения и свойства некоторых клаccов конечных p-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.
[править] p-группы максимального класса
Конечная p-группа порядка pn называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна n − 1.
Теорема. Пусть P — есть конечная p-группа максимального класса, тогда P' = Φ(P) и | Z(P) | = p.
Теорема. Единственными 2-группами порядка 2n максимального класса являются: диэдральная группа , обобщённая группа кватернионов и полудиэдральная группа .
В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.
[править] p-центральные p-группы
Конечная p-группа называется p-центральной, если . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной p-группы.
[править] Мощные p-группы
Конечная p-группа называется мощной, если при и при p = 2. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию p-центральной p-группы.
[править] Регулярные p-группы
Конечная p-группа P называется регулярной, если для любых выполнено (xy)p = xpypcp, где . Регулярными будут, например, все абелевы p-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.
Теорема. Любая подгруппа и фактор-группа регулярной p-группы регулярна.
Теорема. Конечная p-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
Теорема. Конечная p-группа порядка не большего pp является регулярной.
Теорема. Конечная p-группа класс нильпотентности которой меньше p является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при p > 2.
Несколько неожиданной является следующая
Теорема. Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.
[править] Конечные p-группы небольших порядков
[править] Число различных p-групп порядка pn
- Число неизоморфных групп порядка p равно 1: группа Cp.
- Число неизоморфных групп порядка p2 равно 2: группы и .
- Число неизоморфных групп порядка p3 равно 5, из них три абелевы группы: , , и две неабелевы: при p > 2 — и ; при p = 2 — D8, Q8.
- Число неизоморфных групп порядка p4 равно 15 при p > 2, число групп порядка 24 равно 14.
- Число неизоморфных групп порядка p5 равно 2p + 61 + 2GCD(p − 1,3) + GCD(p − 1,4) при . Число групп порядка 25 равно 51, число групп порядка 35 равно 67.
- Число неизоморфных групп порядка p6 равно 3p2 + 39p + 344 + 24GCD(p − 1,3) + 11GCD(p − 1,4) + 2GCD(p − 1,5) при . Число групп порядка 26 равно 267, число групп порядка 36 равно 504.
- Число неизоморфных групп порядка p7 равно 3p5 + 12p4 + 44p3 + 170p2 + 707p + 2455 + (4p2 + 44p + 291)GCD(p − 1,3) + (p2 + 19p + 135)GCD(p − 1,4) + (3p + 31)GCD(p − 1,5) + 4GCD(p − 1,7) + 5GCD(p − 1,8) + GCD(p − 1,9) при p > 5. Число групп порядка 27 равно 2328, число групп порядка 37 равно 9310, число групп порядка 57 равно 34297.
[править] p-группы порядка p^n, асимптотика
При число неизоморфных групп порядка pnасимптотически равно .
[править] Знаменитые проблемы теории конечных p-групп
[править] Группа автоморфизмов конечной p-группы
Для групп p-автоморфизмов конечной p-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:
Гипотеза. Пусть P является нециклической p-группой порядка , тогда .
Эта гипотеза подтверждена для обширного класса p-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более p7, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.
[править] Гипотеза Хигмена
Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка q нильпотентна.
Гипотеза. Пусть группа P обладает регулярным автоморфизмом простого порядка q. Тогда её класс нильпотентности равен .
Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: cl(P) < qq (Кострикин, Крекнин).
[править] Ослабленная гипотеза Бернсайда
Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с m образующими и периодом n (то есть все её элементы x удовлетворяют соотношению xn = 1), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через B(m,n). Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа B(m,2) является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы B(m,3) равен . Однако, как показали Новиков и Адян, при и при любом нечётном группа B(m,n) бесконечна.
Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных m-порождённых групп периода n ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных p групп она означает, что существует лишь конечное число p групп данной экспоненты и с данным числом образующих.
[править] Нерегулярные p-группы
Классификация нерегулярных p-групп порядка pp + 1.
[править] Литература
- Белоногов В.А., Задачник по теории групп. Москва, Наука, 2000.
- Холл М., Теория групп. Издательство иностранной литературы, Москва, 1962.
- Хухро E.И., O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп, Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359-371.
- Berkovich Y., Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
- Berkovich Y., Janko Z., Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
- Gorenstein D., Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
- Huppert B., Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
- Lazard M., Groupes analytiques p-adiques, Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
- Lubotzky A., Mann A., Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506-515.
- Weigel T., Combinatorial properties of p-central groups, Freiburg Univ., 1996, preprint.
- Weigel T., p-Central groups and Poincare duality, Freiburg Univ., 1996, preprint.