Класс ZPP

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В теории вычислительной сложности, ZPP (zero-error probabilistic polynomial time - безошибочный вероятностный полиномиальный) это такой класс задач, для которых существует вероятностная машина Тьюринга, удовлетворяющая нескольким свойствам:

• Она всегда правильно отвечает "Да" либо "Нет".
• Время работы такой машины неограниченно, но математическое ожидание времени работы полиномиальное.

Существует альтернативный набор свойств:

• Машина Тьюринга всегда работает за полиномиальное время.
• Она отвечает "Да", "Нет" или "Не знаю".
• Ответ может быть либо правильным, либо "Не знаю".
• Если правильный ответ "Да", машина Тьюринга отвечает "Да" с вероятностью не меньше ½.
• Если правильный ответ "Нет", машина Тьюринга отвечает "Нет" с вероятностью не меньше ½.

Оба набора свойств эквивалентны.

Машину Тьюринга, удовлетворяющую этим свойствам, называют иногда машиной Тьюринга типа Лас-Вегас.

[править] Определение через пересечение

Класс ZPP в точности эквивалентен пересечению классов RP и Co-RP. Часто именно это принимается за определение ZPP. Чтобы продемонстрировать это, заметим, что любая задача принадлежащая одновременно RP и co-RP имеет алгоритм типа Лас-Вегас:

• Допустим есть язык L распознаваемый RP алгоритмом A и (возможно совершенно другим) co-RP алгоритмом B.
• Запустим A на входной последовательности. Если он ответит "Да", то окончательный ответ должен быть "Да". В противном случае запустим B с тем же входом. Если он ответит "Нет", то окончательный ответ должен быть "Нет". Если не выполнено ни одно из предыдущих, повторим данный шаг.

Заметим, что лишь один из алгоритмов A или B может дать неправильный ответ, и вероятность этого события равняется на каждом шаге 50%. Т.о. вероятность достигнуть k-го шага уменьшается экспоненциально относительно k. Это показывает, что математическое ожидание времени работы полиномиальное. Из сказанного следует, что пересечение RP и co-RP содержится в ZPP.

Покажем, что ZPP содержится в пересечении RP и co-RP. Пусть имеется машина Тьюринга типа Лас-Вегас C, которая решает задачу. Можно построить следующий RP алгоритм:

• Запустим C в течение по крайней мере удвоенного ожидаемого времени работы. Если получен ответ - возвращаем его. Если до момента останова никакого ответа не получено, говорим "Нет".

Вероятность того, что будет получен ответ до момента останова, равняется ½ (из неравенства Маркова). Это в свою очередь означает, что вероятность ответить "Нет", когда на самом деле ответ "Да", за счет останова, равна ½, что удовлетворяет определению RP. Для алгоритма из co-RP рассуждение проводится аналогично.