Квазиклассическое приближение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна), является самым знакомым примером квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, и затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Вентцеля, Крамерса, и Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году. В 1923, математик Гарольд Джефрис развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, Крамерс, и Бриллюен очевидно не знали эту более раннюю работу.
[править] Вывод
Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:
которое можно переписать в виде
мы представим волновую фунцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ
- Ψ(x) = eΦ(x)
Φ должна удовлетворять уравнению
где Φ' означает производную от Φ по x. Разделим Φ'(x) на реальную и мнимую части вводя реальные функции A и B:
- Φ'(x) = A(x) + iB(x)
Тогда амплитуда волновой функции eA(x), а фаза — B(x). Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения которым должны удовлетворять эти функции:
- B'(x) − 2A(x)B(x) = 0.
Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого , чтобы удовлетворить реальной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка насколько это возможно.
С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде
- A0(x)B0(x) = 0
Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить A0(x) = 0 и получить
Это верно, только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим
С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой мы положим B0(x) = 0 и получим
Это верно если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим
Это очевидно, что из-за знаменателя, оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где E = V(x) и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера, частицы ведут себя подобно свободной волне - фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера, частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.
Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота
Обозначим классическую точку поворота x1. Вблизи E = V(x1), можно разложить в ряд.
Для первого порядка получим
Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом
Используя асимптотики данного решения можно найти отношения между C,θ и C + ,C − :
Что завершает построение глобального решения.