Интегральное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Содержание

1 Классификация интегральных уравнений
- 1.1 Линейные интегральные уравнения
  - 1.1.1 Уравнения Фредгольма
    - 1.1.1.1 Уравнения Фредгольма 2-го рода
    - 1.1.1.2 Уравнения Фредгольма 1-го рода
  - 1.1.2 Уравнения Вольтерра
    - 1.1.2.1 Уравнения Вольтерра 2-го рода
    - 1.1.2.2 Уравнения Вольтерра 1-го рода
- 1.2 Нелинейные уравнения
2 Методы решения
3 Приложения
4 См. также
5 Литература

[править] Классификация интегральных уравнений

[править] Линейные интегральные уравнения

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

$\varphi(x)=\lambda\int K(x,s)\varphi(s)ds+f(x),$

где φ(x) — искомая функция, f(x), K(x, s) — известные функции, λ — параметр. Функция K(x, s) называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить еще на несколько видов.

[править] Уравнения Фредгольма

Основная статья: Интегральное уравнение Фредгольма

[править] Уравнения Фредгольма 2-го рода

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

$\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,s)\varphi(s)ds+f(x).$

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: $a\leqslant x, s\leqslant b$ , а ядро и свободный член должны быть непрерывными: $K(x, s)\in C(a\leqslant x, s\leqslant b),\ f(x)\in C([a,b])$ , либо удовлетворять условиям:

$\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x, s)|^2dx\,ds<+\infty,\ \int\limits_a^b|f(x)|^2dx<+\infty.$

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если f(x)≡0 на [a, b], то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

[править] Уравнения Фредгольма 1-го рода

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят также, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

$\int\limits_a^b K(x,s)\varphi(s)ds=f(x),$

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 1-го рода.

[править] Уравнения Вольтерра

Основная статья: Интегральное уравнение Вольтерра

[править] Уравнения Вольтерра 2-го рода

Уравнения Вольтера отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

$\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,s)\varphi(s)ds+f(x), a\leqslant x\leqslant b.$

[править] Уравнения Вольтерра 1-го рода

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерра 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

$\int\limits_a^b K(x,s)\varphi(s)ds=f(x).$

В принципе, уравнения Вольтерра можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

$\mathcal{K}(x, s)=\begin{cases} K(x, s), & a\leqslant s \leqslant x, \\ 0, & x < s \leqslant b. \end{cases}$

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерра не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

[править] Нелинейные уравнения

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

[править] Уравнения Урысона

Основная статья: Интегральное уравнение Урысона

$\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,s, \varphi(s))ds, K(x, s, \varphi)\in C(a\leqslant x, s \leqslant b; -M\leqslant \varphi \leqslant M).$

Постоянная M — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

[править] Уравнения Гаммерштейна

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

$\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,s)F(s,\varphi(s))ds,$

где K(x, s) — фредгольмово ядро.

[править] Уравнения Ляпунова-Лихтенштейна

Именами Ляпунова-Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

$\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,s)\varphi(s)ds+\mu\int\limits_a^b\int\limits_a^b K_{[1,1]}(x,s,z)\varphi(x)\varphi(z)ds\,dz+...$

[править] Нелинейное уравнение Вольтерра

$\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,s,\varphi(s))ds,$

где функция F(x, s, φ) непрерывна по совокупности своих переменных.

[править] Методы решения

Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

[править] Преобразование Лапласа

Метод преобразования Лапласа может быть применен к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свертки двух функций:

$\int\limits_0^xf(x-t)g(t)dt\risingdotseq F(p)G(p),$

то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:

$\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^xK(x-s)\varphi(s)ds.$

Например, дано такое уравнение:

$\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x\cos(x-s)\varphi(s)ds.$

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

$\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p)$

$\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)=\frac{1}{(p-1)^2}.$

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:

$\varphi(x)=\underset{p=1}{\operatorname{res}}\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})'_p\mid_{p=1}=xe^x.$

[править] Метод последовательных приближений

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:

$|\lambda||b-a| \max_{a\leqslant x, s\leqslant b}|K(x,s)|<1.$

Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля-Неймана:

$\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),$

который и является решением уравнения. $(K k f)(x)$ — k-ая степень интегрального оператора (Kf)(x):

$(Kf)(x)=\int\limits_a^bK(x,s)f(s)ds.$

Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых |λ|.

[править] Метод резольвент

Основная статья: Резольвента интегрального уравнения

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:

$\begin{align} K_0(x,t)=K(x,t),\\ K_1(t,s)=K(t, s), \end{align}$

то повторными ядрами ядра K(x, s) будут ядра K_p(x,s):

$K_p(x,s)=\int_a^bK_{p-1}(x,t)K(t,s)dt.$

Ряд, составленный из повторных ядер,

$\mathcal{R}(x, s, \lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^kK_k(x, s),$

называется резольвентой ядра K(x, s) и является регулярно сходящимся при a≤x, s≤b и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля-Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:

$\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,s,\lambda)f(s)ds..$

Например, для интегрального уравнения

$\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1xs\varphi(s)ds$

повторными будут следующие ядра:

K (x, s) = x s,

K 1 (x, t) = x t,

$K_2(x,t)=\int\limits_0^1xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},$

$K_3(x,t)=\int\limits_0^1xs\,\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},$

...

$K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},$

а резольвентой — функция

$\mathcal{R}(x, t, \lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^nK_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\frac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.$

Тогда решение уравнения находится по формуле:

$\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)dt.$

[править] Метод сведения к алгебраическому уравнению

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть $K(x,s)=\sum_{i=1}^Nf_i(x)g_i(s)$ , само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

$\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^{N}f_i(x)\int\limits_a^bg_i(s)\varphi(s)ds+f(x)=\lambda\sum_{i=1}^Nc_if_i(x)+f(x),$

где $c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)ds$ . Умножив предыдущее равенство на g_i(x) и проинтегрировав его по x на отрезке [a, b], приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел c_i:

$c_i=\lambda\sum_{k=0}^Na_{ik}c_k+b_i,\qquad k=1,...,N,$

где $a_{ik}=\int\limits_a^bg_i(x)f_k(x)dx$ и $b_i=\int\limits_a^bg_i(x)f(x)dx$ — числовые коэффициенты.

[править] Приложения

Термин "интегральное уравнение" ввел в 1888 году Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.

[править] Формула обращения Фурье

Основная статья: Преобразование Фурье

Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y) по известной функции g(x):

$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)dy.$

Фурье получил выражение для функции f(y):

$f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)dx.$

[править] Сведение задачи Коши к интегральному уравнению

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\frac{dx}{dt}=F(t, x(t)),\ x(a)=x_0.$

В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t:

$x(t)=x_0+\int\limits_a^tF(s, x(s))ds.$

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерра 2-го рода. Этим еще в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:

$x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\ (\lambda=\operatorname{const}),\ x(a)=1,\ x'(a)=0.$

Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:

x''(t) + λ 2 x (t) = g (t)

решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:

$x(t)=\cos\lambda(t-a)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t g(\tau)\sin\lambda(t-\tau)d\tau.$

Тогда для исходного уравнения получается:

$x(t)=\cos\lambda(t-a)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)d\tau$

— интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка $\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+...+a_n(t)x(t)=F(t),\ t>a,$

$x(a)=C_0,\ x'(a)=C_1,\ ...,\ x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}$

также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода.

[править] Задача Абеля

Основная статья: Задача о таутохроне

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришел к уравнению:

$f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}d\eta,$

где f(x) — заданная функция, а φ(x) — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения).

У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:

Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости (ξ, η) по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав свое движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой x, достигла оси Oξ за время t=f₁(x), где f₁(x) — заданная функция.

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью Oξ за β и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:

$\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\ \varphi(\beta)=\frac{1}{\sin \beta}.$

[править] См. также

[править] Литература

М.Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Для улучшения статьи желательно^?:

Найти и указать ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное
Добавить иллюстрации

Категория: Интегральное исчисление

Скрытые категории: Незавершённые статьи по математике | Википедия:Статьи без ссылок на источники | Википедия:Статьи без иллюстраций

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.