Функция Грина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Функция Грина линейного оператора $L$ , действующего на обобщённые функции над многообразием $M$ в точке $x 0$ , является решением уравнения $(L f)(x) = δ(x - x 0)$ , где $δ$ — дельта-функция Дирака. Если ядро оператора $L$ нетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Также следует помнить, что функция Грина не обычная функция, а обобщённая функция.

Функцию Грина можно представить как обратный оператор к $L$ .

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — где они позволяют разрешить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — где функция Грина гамильтониана является одной из ключевых концепций и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны. Все области матфизики и теорфизики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях итд.

Функция Грина названа в честь английского математика Джорджа Грина (англ. George Green), который первым развил эту теорию в 1830-х гг.

Содержание

1 Основание
2 Применения функции Грина
- 2.1 Исходные данные
- 2.2 Теорема
3 Нахождение функции Грина
- 3.1 Разложение
4 Функция Грина для лапласиана
5 Пример
6 Другие примеры
7 См. также
8 Литература

[править] Основание

Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного интегро-дифференциального уравнения, более известного как задача Штурма—Лиувилля. Пусть $g$ — функция Грина оператора $L$ , тогда решение $f$ неоднородного уравнения $L f = h$ задаётся так:

$f(x)=\int{h(s)g(x,\;s)\,ds}$ .

Ключевым здесь можно считать разложение $h$ по базису из дельта-функций Дирака.

[править] Применения функции Грина

Первоначально функцию Грина использовали для решения неоднородных краевых задач. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» обозначают корреляционную функцию в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

[править] Исходные данные

Пусть $L$ — оператор Штурма—Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

$L={d\over dx}\left[p(x){d\over dx}\right]+q(x)$

и пусть $D$ — оператор краевых условий

$Du=\left\{\begin{matrix}\alpha_1 u^\prime(0)+\beta_1 u(0),\\ \alpha_2 u^\prime(l)+\beta_2 u(l).\end{matrix}\right.$

Пусть $f (x)$ — непрерывная функция на промежутке $[0,\;1]$ . Предположим также, что задача

$\begin{matrix}Lu=f, \\ Du=0\end{matrix}$

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

[править] Теорема

Тогда существует единственное решение $u (x)$ , удовлетворяющее системе

$\begin{matrix}Lu=f,\\ Du=0,\end{matrix}$

которое задаётся выражением

$u(x)=\int\limits_0^l f(s)g(x,\;s)\,ds$ ,

где $g(x,\;s)$ — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:

$g(x,\;s)$ непрерывна по $x$ и $s$ .
Для $x\ne s$ , $Lg(x,\;s)=0$ .
Для $s\ne 0,\;l$ , $Dg(x,\;s)=0$ .
Скачок производной: $g^\prime(s_{+0},\;s)-g^\prime(s_{-0},\; s)=1/p(s)$ .
Симметрична: $g(x,\;s)=g(s,\;x)$ .

[править] Нахождение функции Грина

[править] Разложение

Если множество собственных векторов (собственных функций) $\Psi_n\$ дифференциального оператора $L\$ (то есть набор функций $\Psi_n(x)\$ , таких, что для каждой найдется число $\lambda_n \ne 0\$ , что $L\Psi_n=\lambda_n\Psi_n\$ ) дает полно, тогда мы можем построить функцию Грина из собственных векторов $\Psi_n\$ и собственных значений $\lambda_n\$ .

Под полнотой подразумевается выполнение соотношения полноты для набора $Ψ n (x)$ :

$\delta(x-x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\Psi_n(x)\Psi_n(x^\prime)$ .

Можно показать, что

$G(x,\;x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\Psi_n(x)\Psi_n(x^\prime)}{\lambda_n}$ .

Действительно, подействовав оператором $L$ на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

[править] Функция Грина для лапласиана

[править] Пример

Дана задача

$\begin{matrix}Lu\end{matrix}=u^{\prime\prime}+u=f(x)$ ;

$Du=u(0)=0,\quad u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ .

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Из 2-го условия мы видим, что

$g(x,\;s)=c_1(s)\cdot\cos x+c_2(s)\cdot\sin x$ .

Для $x < s$ из 3-го условия $c 1 (s) = 0$ , в то же время для $x > s$ выполняется $c 2 (s) = 0$ .

В итоге:

$g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} a(s)\sin x,\;\;x<s \\ b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}\right.$

Второй шаг:

Нужно определить $a (s)$ и $b (s)$ .

По 1-му условию

a (s)sin s = b (s)cos s

Используя 4-ое условие, получим:

$b(s)\cdot[-\sin s]-a(s)\cdot\cos s=\frac{1}{1}$ .

Используя правило Крамера или просто угадывая решение для $a (s)$ и $b (s)$ , получим, что

$a(s)=-\cos s;\quad b(s)=-\sin s$ .

Эти выражения удовлетворяют условию 5.

Тогда функция Грина задачи:

$g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix} -1\cdot\cos s\cdot\sin x,\;\;x<s \\ -1\cdot\sin s\cdot\cos x,\;\;s<x \end{matrix}\right.$

[править] Другие примеры

Пусть дано многообразие $\mathbb R$ и оператор $L$ равен $d / d x$ . Тогда функция Хевисайда $H (x - x 0)$ является функцией Грина для $L$ при $x 0$ .
Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости ${ (x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ и $L$ — оператор Лапласа. Также предположим, что при $x = 0$ наложены краевые условия Дирихле, при $y = 0$ — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

$G(x,\;y,\;x_0,\;y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]+$

$+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].$

[править] См. также

Дифференциальный оператор
Линейное дифференциальное уравнение

[править] Литература

Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Дифференциальные уравнения | Функции | Математический анализ

Скрытая категория: Незавершённые статьи по математике

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.