Икосаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Икосаэдр
Для увеличения, щёлкните по картинке. Щёлкните по ссылке, чтобы просмотреть вращение фигуры.
Тип	Правильный многогранник
Грань	Правильный треугольник
Граней	20
Рёбер	30
вершин	12
Граней при вершине	5
Группа симметрий	Икосаэдральная (I_h)
Двойственный многогранник	додекаэдр

Икоса́эдр (от греч. εικοσάς, «двадцать» и греч. -εδρον, «грань», «лицо», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12.

Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

$S=5\sqrt3a^2$

$V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3$

$r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a$

$R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a$

[править] Свойства

Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Икосаэдр можно вписать в додекаэдр притом, вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр притом, вершины додекаэдра будут совмещены с центрами граней икосаэдра.