Гипотеза Борсука
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Гипо́теза Бо́рсука — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что
|
Любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d. |
Гипотеза была выдвинута Каролом Борсуком (Karol Borsuk) в 1933 г. Сам Борсук доказал, что n-мерный шар нельзя разделить на n частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей. Доказательство основано на теореме Борсука — Улама.
Вначале она была подтверждена в некоторых случаях:
- Случай n = 1 очевиден.
- Случай n = 2 был доказан самим Борсуком в 1933 году.
- Случай n = 3 был доказан Элгстоном в 1955 году. Простое доказательство было найдено позже Бранко Грюнбаумом и Хеппесом.
- При всех n для выпуклых тел с гладкой границей — результат Хадвигера (англ.) (1946).
- При всех n для всех центрально-симметричных тел. Доказано А.С. Рисслингом.
- При всех n для всех тел вращения — результат Декстера 1995 года.
Калай и Кан[1] построили контрпример в размерности n = 1825 и, кроме того, для каждого n привели примеры тел, которые нельзя разбить на ![[1,1^{\sqrt{n}}]](../../../../math/6/6/f/66fde8412e053467a8830a9d53a2af96.png)
части меньшего диаметра (здесь [x] обозначает целую часть x). Таким образом, гипотеза неверна для всех достаточно больших n (точнее, 
).
Текущий лучший результат [2] показывает, что гипотеза неверна для всех 
[править] Литература
- В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Разбиение фигур на меньшие части, «Популярные лекции по математике», Выпуск 50, М., «Наука» 1971 г., 88 стр.
- В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. (1965) (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
- М. Л. Гервер, «О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
- А. Б. Скопенков, «n-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
- Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрия и теории выпуклых тел. М., «Наука», 1971.
- ↑ J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 60—62.
- ↑ A. Hinrichs and C. Richter, New sets with large Borsuk numbers, Discrete Math. 270 (2003), 137—147
