Внутренность
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Вну́тренность множества в общей топологии — это совокупность всех внутренних точек.
Содержание |
[править] Определение
Пусть дано топологическое пространство где X — произвольное множество, а — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество . Тогда его внутренностью A0 называется совокупность всех внутренних точек A.
[править] Свойства
- Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств X.
- Внутренность A0 — открытое множество.
- Внутренность A0 — объединение всех открытых множеств, содержащихся в A:
- Внутренность A0 — наибольшее открытое множество, содержащееся в A:
- Множество A открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:
- Операция внутренности идемпотентна:
- Операция внутренности сохраняет частичный порядок:
[править] Примеры
- Если — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то
- Если — вещественная прямая со стандартной топологией, и то [a,b]0 = (a,b).
- Если X — дискретное пространство, то для любого имеем A = A0.