Беспорядок (перестановка)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина есть другое значение - см. Инверсия (перестановка).

В комбинаторике беспорядком называется перестановка без неподвижных точек.

Количество всех беспорядков порядка n может вычислено с помощью принципа включения-исключения и дается выражением:

$!n = n!-\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}-\frac{n!}{3!}+\dots +(-1)^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{n!}{k!}$

которое называется субфакториалом числа n.

В виду того, что $\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{1}{k!} = \frac{1}{e}$ , значение $! n$ с ростом $n$ ведет себя как $\frac{n!}{e}$ . Более того, при $n > 0$ его можно представить как результат округления числа $\frac{n!}{e}$ .

Вычисление количества беспорядков является популярной задачей в олимпиадной математике, которая встречается в разных формулировках таких как задача о беспорядке, задача о письмах, задача о встречах и т. д.

[править] Задача о письмах

Если $n$ писем случайным образом положить в $n$ различных конвертов, то какова вероятность, что какое-то письмо попадет в свой конверт? Ответ дается выражением

$1-\frac{!n}{n!}\approx 1-\frac{1}{e}$