Tensor de curvatura de Ricci

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Em geometria diferencial, a curvatura de Ricci é um tensor bivalente, obtido como uma traço do pleno tensor de curvatura. Pode ser pensado como um Laplaciano do tensor métrico riemaniano no caso das variedades de Riemann. Nas dimensões 2 e 3, o tensor de curvatura é determinado totalmente pela curvatura de Ricci. Pode-se pensar na curvatura de Ricci em uma variedade de Riemann, como um operador no espaço tangente. Se este operador é simplesmente multiplicação por uma constante, então temos variedade de Einstein. A curvatura de Ricci é proporcional ao tensor métrico neste caso.

Índice

1 Definição
- 1.1 Expressão em coordenadas
2 Aplicações do tensor de curvatura de Ricci
3 Topologia global e a geometria de curvatura de Ricci positiva
4 Ver também

[editar] Definição

A curvatura de Ricci pode ser explicada em termos da curvatura seccional da seguinte maneira: para um vector unitário v, <R(v), v > é soma das curvaturas seccionais de todos os planos atravessados pelo vector v e um vector de um marco ortonormal que contém v (há n-1 de tais planos). Aqui R(v) é a curvatura de Ricci como um operador linear no plano tangente, e <.,.> é o produto escalar métrico. A curvatura de Ricci contém a mesma informação que todas as tais somas sobre todos os vectores unitários. Nas dimensões 2 e 3 este é o mesmo que especificar todas as curvaturas seccionais ou o tensor de curvatura, mas em dimensões mais altas a curvatura de Ricci contém menos informação. Por exemplo, as variedades de Einstein não têm que ter curvatura constante nas dimensões 4 ou maiores.

[editar] Expressão em coordenadas

Usando um sistema de coordenadas naturais, o tensor de curvatura de Ricci é igual a:

$R_{\sigma\nu} = {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = \partial_\rho\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\rho\sigma} + \Gamma^\rho_{\rho\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\sigma}$

[editar] Aplicações do tensor de curvatura de Ricci

A curvatura de Ricci pode ser utilizada para definir as classes de Chern de uma variedade, que são invariantes topológicos (portanto independentes da escolha da métrica). A curvatura de Ricci também é utilizada no fluxo de Ricci, onde uma métrica é deformada na direção da curvatura de Ricci. Em superficies, o fluxo produz uma métrica de curvatura de Gauss constante e se segue o teorema de uniformização para as superfícies. A curvatura de Ricci desempemha um papel importante em relatividade geral, onde é o termo dominante nas equações de campo de Einstein.

[editar] Topologia global e a geometria de curvatura de Ricci positiva

O teorema de Myers estabelece que se a curvatura de Ricci é limitada por baixo em uma variedade completa de Riemann por $\left(n-1\right)k > 0 \, \!$ , então seu diâmetro é $\le \pi/\sqrt{k}$ , e a variedade tem que ter um grupo fundamental finito. Se o diâmetro é igual a $\pi/\sqrt{k}$ , então a variedade é isométrica a uma esfera de curvatura constante k.

A desigualdade de Bishop-Gromov estabece que se a curvatura de Ricci de uma variedade m-dimensional completa de Riemann é ≥0 então o volume de uma esfera é menor ou igual ao volume de uma esfera de mesmo raio no m-espaço euclideano. Mais ainda, se $v p (R)$ denota o volume da bola com centro p e raio $R$ na variedade e o $V (R) = c m R m$ denota o volume da bola de raio R no m-espaço euclidiano então a função $v p (R) / V (R)$ é não crescente. (a última desigualdade pode ser generalizada a uma cota de curvatura arbitrária e é o ponto dominante na prova do teorema de compacidade de Gromov.)

O teorema de partição de Cheeger-Gromoll indica isso se uma variedade completa de Riemann com o Ricci ≥ 0 tem uma linha reta (ou seja, uma geodésica minimizante infinita de ambos os lados) então é isométrica a um espaço R x L, onde L é uma variedade de Riemann.

Todos os resultados acima mencionados demonstram que a curvatura de Ricci positiva tem certo significado geométrico, em contrário, a curvatura negativa não é tão restritiva, em particular como foi demonstrado por Joachim Lohkamp, qualquer variedade admite uma métrica de curvatura negativa.