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Tensor - Wikipédia, a enciclopédia livre

Tensor

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Tensores são muito importantes em diversas áreas da física como mecânica clássica e electromagnetismo. Um vetor e um escalar são casos particulares de tensores, respectivamente de ordem um e zero.

[editar] Definição informal

Um objeto com componentes A^{i j \dots n} em um referencial xi e componentes A^{i\prime j'\dots n\prime} em um referencial x^{i\prime} é chamado de tensor contravariante se se transforma da seguinte maneira

A^{i\prime j\prime \dots n\prime}=A^{i j \dots n} p^{i\prime}_{i}p^{j\prime}_{j}\dots p^{n\prime}_{n}

onde p^{i\prime}_{i} é definido como

p^{i\prime}_{i}=\frac{\partial x^{i\prime}}{\partial x^{i}}.

É chamado de tensor covariante o objeto matemático do tipo A_{i j \dots n} em um referencial xi e componentes A_{i\prime j\prime\dots n\prime} em um referencial x^{i\prime} que se transforma da seguinte maneira

A_{i\prime j\prime \dots n\prime}=A_{i j \dots n} p^{i\prime}_{i}p^{j\prime}_{j}\dots p^{n\prime}_{n}

Temos, então, que um tensor é, de forma geral, a entidade matemática do tipo A^{i \dots n}_{l \dots m} em um dado referencial xi que se transforma para um referencial x^{i\prime} da seguinte forma

A^{i \dots n}_{l \dots m}=p^{i\prime}_{i}\dots p^{n\prime}_{n}p^{l\prime}_{l}\dots p^{m\prime}_{m}A^{i\prime \dots n\prime}_{l\prime \dots m\prime} e A^{i\dots n}_{j\dots m}

Um tensor A^{i\dots n} é dito um tensor contravariante de ordem n (ou n vezes contravariante) onde n é o número de índices sobrescritos. Análogamente A_{i\dots m} é um vetor covariante de ordem m (ou m vezes covariante) e A^{i\dots n}_{j\dots m} um tensor de ordem n+m, ou um tensor n vezes contravariante e m vezes covariante.

[editar] Da convenção de Einstein

Por simplicidade convém denotarmos a seguinte identidade matemática

\mathcal{F}=\sum_{i} u^{i}v_{i}

como

\mathcal{F}=u^{i}v_{i}


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