Distância

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Pessoas a diferentes distâncias entre si.

Na linguagem corrente, distância é a medida da separação de dois pontos. A distância entre dois pontos é medida pelo comprimento do segmento de reta que os liga. Quando se fala na distância entre dois pontos da superfície da Terra, então a distância é o mínimo comprimento entre as possíveis trajetórias sobre a superfície partindo de um ponto e atingindo o segundo (geodésia).

Em aplicações práticas, é comum definir a distância entre dois pontos na Terra como o comprimento da trajetória utilizada por determinado meio de transporte. Assim, fala-se em distância rodoviária, distância ferroviária ou distância aérea.

A distância é sempre uma medida positiva e tem a propriedade de que a distância de um ponto A até um ponto B é idêntica à distância do ponto B até o ponto A

[editar] Métrica

Ver artigo principal: Métrica (matemática)

A idéia de distância entre dois pontos é formalizada e generalizada pela matemática através do conceito de métrica. Um espaço onde há uma distância ou métrica definida é chamado de espaço métrico.

Mais precisamente, se $\mathbb{S}$ é um conjunto, uma métrica em $\mathbb{S}$ é função $d:\mathbb{S}\times\mathbb{S}\to\mathbb{R}$ que associa dois elementos de um conjunto a um número real e deve obdecer aos seguintes axiomas:

ser positivamente definida $d(x,y) \ge 0\,$ para todos os $x,y \in \mathbb{S}\,$
ser simétrica $d(x,y)=d(y,x)\,$ para todos os elementos $x,y\,$ de $\mathbb{S}\,$
obedecer a desigualdade triangular. Para todos os $x,y,z\,$ elementos de $S$ , $d(x,z)\le d(x,y) + d(y,z)\,$
ser nula apenas para pontos coincidentes. $d(x,y)=0 \iff x=y\,$

[editar] Distância entre conjuntos

dist(A,B)> dist(A,C) + dist(C,B)

Seja $\left(\mathbb{S},d\right)$ um espaço métrico, define-se a distância entre dois subconjuntos $A\,$ e $B\,$ não-vazios de $S\,$ como o ínfimo das distâncias entre um ponto do conjunto $A\,$ e um ponto do conjunto $B\,$ :

$\hbox{dist}(A,B):=\inf\left\{d(x,y):x\in A,~y\in B\right\}\,$

A distância entre conjuntos, assim definida, não é uma métrica. Uma possível métrica que mede a distância entre dois conjuntos é dada pela distância de Hausdorff.
Se $A\cap B\neq \emptyset\,$ então $\hbox{dist}(A,B)=0\,$ .
Se $\hbox{dist}(A,B)>0\,$ então diz-se que $A\,$ e $B\,$ são conjuntos bem separados. Conjuntos bem separados sempre são desconexos.
Um conjunto fechado e um conjunto compacto disjuntos sempre são bem separados.