Cálculo vetorial

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Cálculo vetorial ou cálculo vectorial é uma área da matemática relacionada com a análise real multivariável de vectores em 2 ou mais dimensões. Consiste num conjunto de fórmulas e técnicas para a resolução de problemas, muito útil na engenharia e na física.

Consideremos um campo vectorial, que associa um vector a cada ponto no espaço, e um campo escalar, que associa um escalar a cada ponto no espaço. Por exemplo, a temperatura de uma piscina é um campo escalar: a cada ponto podemos associar um valor escalar para a temperatura. O fluir da água nessa mesma piscina é um campo vectorial: a cada ponto podemos associar um vector velocidade.

[editar] História

Os quaternions foram descobertos pelo irlandês William Rowan Hamilton em 1843. Hamilton procurava formas de estender os números complexos (que podem ser vistos como pontos de um plano) a dimensões espaciais mais elevadas. Quaternions são feitos de um vector de três dimensões mais um escalar.

Posteriormente, Oliver Heaviside e Willard Gibbs entre outros, desenvolveram a álgebra vectorial e o cálculo vectorial.

Alguns dos apoiantes de Hamilton opuseram-se fortemente aos desenvolvimentos crescentes da álgebra vectorial e cálculo vectorial, afirmando que os quaternions forneciam uma notação superior. Se bem que isto é discutível em três dimensões, os quaternions não podem ser usados em outras dimensões (apesar de extensões como as dos octonions e álgebra de Clifford poderem ser mais aplicáveis. A notação vectorial substituiu quase universalmente os quaternions na ciência e engenharia por volta dos meados do século XX.

[editar] Noções

Campo -- É uma região do espaço matemático onde há grandezas associadas a seus pontos. Se essas grandezas se mantêm constantes ao longo do tempo dizemos que esse campo é estável; se elas tem a mesma direção em todos os pontos dizemos que o campo é UNIFORME; se elas são iguais em todos os pontos dizemo que o campo é HOMOGÊNEO.

Escalar -- é o nome que se dá a grandezas reais associadas a pontos do espaço. Não possuem sentido ou direção. Exemplos: massa, temperatura, densidade.

Vectores -- são objectos ou entes matemáticos constituídos pela associação de um módulo (ou valor absoluto), direcção e sentido a cada ponto do espaço. Exemplos: velocidade linear, aceleração, força, velocidade de rotação.

Graficamente, costuma-se representar o vector por uma seta ligando dois pontos do espaço geométrico, que geralmente são designados como letras maiúsculas entre parentesis; Sendo (O) seu ponto de origem e (P) seu ponto de extremidade, o vector pode então ser simbolizado pela associação desses dois pontos, ou seja, por (OP) ; seu módulo é simbolizado por |OP|. Outro simbolismo frequente consiste em designar o vector por uma letra minúscula sobreposta de uma pequena seta.

Álgebra vetorial -- É a área da matemática que trata da operações e transformações de vetores; as definições usadas na álgebra numérica são extensíveis à algebra vetorial. As definições fundamentais são:
1. dois vetores são iguais se tem o mesmo módulo, sentido e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes. Assim (AB) = (CD) se |AB| = |CD| e ambos tem o mesmo sentido e direção.
2. dois vetores que tenham o mesmo módulo e direção, porém sentidos opostos são chamados de opostos e podem ser representados com a mesma designação porém uma com o sinal negativo. Exemplo: (AB) = - (BA)
3. a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na estremidade de outro, independendo da sequencia ou ordem de colocação. Assim a resultamte de [(OA) +( AB) + (CD)] é (OD)
4. a diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Define-se como vetor nulo o vetor cujo módulo é igua a zero. O vetor nulo não tem sentido ou direção.
5. o produto de um escalar m por um vetor (AB) é um vetor de mesma direção de (AB) , módulo igual a [m.|AB|] , mesmo sentido se m > 0 e sentido oposto se m < 0 .

Leis operacionais -- Para adição de vetores ou multiplicação de vetor por escalar, valem as leis associativas e comutativas, ou seja:
1. $[(A B) + (C D)] = [(C D) + (A B)]$ - lei comutativa da adição
2. $(A B) + [(C D) + (E F)] = [(A B) + (C D)] + (E F)$ - lei associativa da adição
3. $n\cdot (AB) = (AB)\cdot n$
4. $m\cdot [n\cdot (AB)] = [m\cdot n]\cdot (AB)$ - lei comutativa da multiplicação
5. $[m + n]\cdot (AB) = m\cdot (AB) + n\cdot (AB)$ - lei distributiva
6. $m\cdot [(AB) + (CD)] = m\cdot (AB) + m\cdot (CD)$ - lei distributiva

Produto escalar de dois vetores - É definido como o escalar resultante do produto dos módulos dos vetores e do cosseno do ângulo formado entre eles. Ex. $(AB)\cdot(CD) = |AB|\cdot|CD|\cdot\cos \theta$ , sendo $θ$ o ângulo entre AB e CD.

Produto vetorial de dois vetores - É definido como um vetor cujo módulo é o resultado do produto dos módulos dos dois vetores multiplicandos e o seno do ângulo que eles formam; sua direção é perpendicular ao plano definido pelos vetores multiplicandos e o sentido é tal que os dois vetores multiplicandos e o resultante cujo módulo, pela ordem, formem um triédro positivo.

Note-se que o módulo do vetor resultante é igual à área do paralelograma construído pelos vetores multipicandos. A lei associativa da multiplicação não se aplica a produtos vetoriais.

Produtos triplos -- São operações envolvendo simultaneamente produtos escalares e vetorias entre vários vetores, para as quais, em geral, não se aplicam as leis comutativas e associativas.