Wyznacznik Grama

Z Wikipedii

Zasugerowano, aby ten artykuł zintegrować z artykułem Macierz Grama.

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Jest to wyznacznik macierzy Grama zdefiniowanej następująco:

Wyraz G_i,j macierzy Grama to iloczyny skalarne wektorów v_i,v_j

Wyznacznik Grama oznaczamy

Wartość wyznacznika Grama nie zależy od wyboru kolejności wektorów. Przestawienie dwóch wektorów w ciągu powoduje natchmiast prestawienie dwóch wierszy i dwóch kolumn w macierzy.

[edytuj] Zastosowanie - objętość

Wyznacznik Grama ma duże zastosowanie przy liczeniu objętości k-wymiarowych (objętość 1-dim to długość, 2-dim to powierzchnia)

Objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z wyznacznika Grama

Wyznacznik Grama ma też zastosowanie przy obliczaniu k-objętości brył o bardziej skomplikowanym kształcie, np.: obliczanie długości krzywej

[edytuj] Przykład obliczania długości krzywej z zastosowaniem wyznacznika Grama

Dla przykładu policzymy długość okręgu o równaniu:

x² + y² = R²

okrąg sparametryzujemy przy pomocy t , które pochodzi z przedziału od 0 do 2π. Stąd krzywą można opisać wektorem: (Rcos(t),Rsin(t)) a wektor styczny (obliczony jako pochodna) to: ( − Rsin(t),Rcos(t)) Wektory styczne rozpinają element objętości stąd: element objętości wynosi: . W rozważanym przykładzie mamy jeden wektor styczny, a wyznacznik Grama jest równy długości tego wektora, czyli r. Aby obliczyć objętość liczymy:

Dokładnie analogicznie oblicza się powierzchnie, objętości brył, z tym że wykonywane jest całkowanie po większej liczbie zmiennych, a macierz Grama jest wyższego rzędu.

[edytuj] Bibliografia

1. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976. 
2. S. Zakrzewski: Algebra i Geometria. Warszawa.