Sprzężona przestrzeń liniowa zespolona

Z Wikipedii

Sprzężona przestrzeń liniowa zespolona – zespolona przestrzeń liniowa $\overline V$ skojarzona z dowolną zespoloną przestrzenią liniową $V$ . Wektory przestrzeni oraz działanie dodawania są zgodne z $V$ z wyjątkiem mnożenia przez skalar, w którym przed pomnożeniem skalar jest uprzednio zespolenie sprzęgany.

Przekształcenie $\overline {\,\cdot\,}: V \to \overline V, \quad \overline x \mapsto x \quad \forall_{x \in V}$ jest więc wzajemnie jednoznaczne i antyliniowe. Mamy też $\overline {\overline V} = V$ oraz $\overline {\overline x} = x \quad \forall_{x \in V}$ . Dla dowolnego bijektywnego odwzorowania antyliniowego z $V$ w pewną przestrzeń liniową $W$ można pokazać, że $W$ oraz $\overline V$ są izomorficzne jako zespolone przestrzenie liniowe.

[edytuj] Sprzężone odwzorowanie liniowe

Sprzężone odwzorowanie liniowe $\overline f: \overline V \to \overline W$ dla danego odwzorowania liniowego $f: V \to W$ jest definiowane wg wzoru

$\overline f(\overline x) = \overline {f(x)}$ .

Ponieważ przekształcenie $\overline f$ jest liniowe, można rozpatrywać $\overline {\,\cdot\,}$ jako endomorficzny operator zespolonych przestrzeni liniowych.

Jeżeli $V, W$ są skończeniewymiarowe, zaś $f$ jest opisana za pomocą macierzy $A$ w bazach $\mathcal B, \mathcal C$ odpowiednio przestrzeni $V, W$ , to przekształcenie $\overline f$ jest opisane jako macierz sprzężona do macierzy $A$ w bazach odpowiednio $\overline \mathcal B$ przestrzeni $\overline V$ oraz $\overline \mathcal C$ przestrzeni $\overline W$ .

[edytuj] Uwagi

Przestrzenie $V$ oraz $\overline V$ mają ten sam wymiar nad $\mathbb C$ , stąd są one izomorficzne jako zespolone przestrzenie liniowe, jednakże nie istnieje żaden naturalny izomorfizm z $V$ na $\overline V$ .