Skala betów

Z Wikipedii

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

[edytuj] Definicja

Przypomnijmy, że dla liczby kardynalnej $\kappa\$ , $2^\kappa\$ jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów $\kappa\$ .

Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha\in {\mathbf{ON}}$ definiujemy ciąg $\langle\beth_\alpha:\alpha\in {\mathbf{ON}}\rangle$ (jest to klasa właściwa):

(i) $\beth_0=\aleph_0$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,

(ii) $\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_\alpha}$ ,

(iii) jeśli $\gamma\$ jest liczbą graniczną, to $\beth_\gamma=\lim\limits_{\alpha<\gamma}\beth_\alpha=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}\beth_\alpha$ .

Ciąg $\langle\beth_\alpha:\alpha\in {\mathbf{ON}}\rangle$ jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech $\kappa\$ będzie liczbą kardynalną.

Przez indukcję po liczbach porządkowych $\alpha\in {\mathbf{ON}}$ definiujemy ciąg $\langle\beth_\alpha(\kappa):\alpha\in {\mathbf{ON}}\rangle$ :

(a) $\beth_0(\kappa)=\kappa$ ,

(b) $\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)}$ ,

(c) jeśli $\gamma\$ jest liczbą graniczną, to $\beth_\gamma(\kappa)=\lim\limits_{\alpha<\gamma}\beth_\alpha(\kappa)=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}\beth_\alpha(\kappa)$ .

[edytuj] Własności i przykłady

$\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0)$ dla każdego $\alpha\$ .
Przyjmując aksjomatykę Zermelo-Fraenkela, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że $\beth_1=\aleph_1$ , a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że $(\forall \alpha\in {\mathbf{ON}})(\beth_\alpha=\aleph_\alpha)$ .
$\beth_1$ jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru ${\mathbb R}$ wszystkich liczb rzeczywistych.
$\beth_2$ jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru ${\mathbb R}$ , a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z ${\mathbb R}$ w ${\mathbb R}$ .
Istnieją liczby porządkowe $\alpha\$ takie, że $\alpha=\beth_\alpha$ (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli $\kappa\$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to $\beth_\kappa=\kappa$ , ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu $\beth_0, \beth_{\beth_0}, \beth_{\beth_{\beth_0}},\ldots$
$\beth_\omega$ ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej $\kappa<\beth_\omega$ mamy również $2^\kappa<\beth_\omega$ .