See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Pochodna ułamkowa - Wikipedia, wolna encyklopedia

Pochodna ułamkowa

Z Wikipedii

Pochodna ułamkowa - uogólnienie pojęcia pochodnej funkcji n-tego rzędu na rząd rzeczywisty.

Pochodną ułamkową najprościej zdefiniować poprzez różniczkowanie ułamkowe szeregu Taylora wyraz po wyrazie. Niech

f(x) = x^k\;.

wtedy pochodna n-tego rzędu

{d^n \over dx^n } x^k = { k! \over (k - n) ! } x^{k-n}\;,

Zadanie zdefiniowania pochodnej ułamkowej sprowadza sie do znalezienia funkcji która staje się silnią dla argumentu całkowitego. Taka funkcja to funkcja Γ.

Dla a rzeczywistego definiujemy więc

{d^a \over dx^a } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}\;.

Dla dowolnej funkcji rozwijalnej w szereg Taylora

f(y)= \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x)}{n!} (y-x)^{n}\,,

można ją zróżniczkować po wyrazie zgodnie z powyższą definicja co jest równoważne

f(x)=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_0^x(x-t)^{\alpha-1}{d^a \over dx^a }f(t)\,dt

licząc również całki wyraz po wyrazie.

Łatwo sprawdzić ze pochodna ułamkowa jest ciągła względem jej rzędu tzn. ze np. wykres pochodnej rzędu 1/2 leźy pomiędzy pochodną 0 (samą funkcją) a pierwszą pochodną.


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -