Pierścień lokalny

Z Wikipedii

Pierścień lokalny to pierścień, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny. Ideał ten złożony jest z elementów, które nie są odwracalne w pierścieniu.

Spis treści

1 Definicja
2 Twierdzenie
3 Przykłady
4 Zobacz też
5 Źródła

[edytuj] Definicja

Pierścień $R$ nazywamy lokalnym gdy ma dokładnie jeden ideał maksymalny.

[edytuj] Twierdzenie

Niech $R$ będzie pierścieniem. Następujące warunki są równoważne:

$R$ jest pierścieniem lokalnym.
$R$ nie jest pierścieniem zerowym i suma każdych dwóch elementów nieodrwacalnych w $R$ jest elementem nieodwracalnym $R$
Zbiór elementów nieodwracalnych w $R$ jest ideałem.

[edytuj] Przykłady

Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest ${0}$ ).
Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $p\in X$ . Rozpatrzmy zbiór par $(V, f)$ , gdzie $V$ jest otoczeniem punktu $p$ i $f\colon V\to \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą. Określmy relację $(V_1,f_1)\sim (V_2, f_2)\iff f_1|_U=f_2|_U$ dla pewnego otoczenia $U$ punktu $p$ . Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę $(V, f)$ oznaczmy $[V, f]$ . W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić $[X,0]$ jako element zerowy i $[X,1]$ jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie $p$ przestrzeni topologicznej $X$ i oznaczamy przez $\mathcal{O}_{X,p}$ . Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał $\mathfrak{m}_{X,p}$ złożony z wszystkich klas abstrakcji $[V, f]$ , że $f (p) = 0$ . Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy $C r$ w punkcie $p$ rozmaitości różniczkowej $X$ .