Kolaps Mostowskiego

Z Wikipedii

Kolaps Mostowskiego (kolaps przechodni) – zbiór przechodni który wraz z relacją należenia jest izomorficzny z daną ufundowaną relacją ekstensjonalną. Termin kolaps Mostowskiego jest też używany na określenie samego izomorfizmu z wyjściowego zbioru z relacją na zbiór przechodni.

Izomorfizm ten był użyty przez Kurta Gödla w 1937 w niebezpośredniej formie ^[1]. Samodzielne twierdzenie o istnieniu kolapsów przechodnich było sformułowane i udowodnione przez Andrzeja Mostowskiego w 1949^[2].

Twierdzenie o kolapsie Mostowskiego jest nazywane także twierdzeniem o ściąganiu^[3].

Spis treści 1 Definicje 2 Twierdzenie 3 Przykłady 4 Przypisy

[edytuj] Definicje

• Relacja dobrze ufundowana (lub po prostu relacja ufundowana) to relacja R, dla której nie istnieje nieskończony R-zstępujący ciąg (a_n)_n, czyli taki nieskończony ciąg elementówzbioru X, w którym każdy element jest w relacji z następującym bezpośrednio przed nim:

, , .

• Powiemy, że relacja dwuczłonowa R na zbiorze X spełnia warunek ekstensjonalności (jest ekstensjonalna) jeśli dla wszystkich zachodzi implikacja:

jeśli to x = y.

• Zbiór S jest przechodni (tranzytywny) jeśli każdy jego element jest jednocześnie jego podzbiorem, czyli gdy spełniony jest warunek

.

[edytuj] Twierdzenie

Załóżmy że R jest dwuczłonową relacją ufundowaną na zbiorze X. Przypuśćmy również, że relacja ta spełnia warunek ektensjonalności. Wówczas istnieje dokładnie jeden zbiór przechodni S oraz dokładnie jedna bijekcja takie, że dla wszystkich mamy:

.

Zbiór S nazywa się kolapsem Mostowskiego relacji R , czasem ten sam zwrot jest używane w odniesieniu do odwzorowania π.

[edytuj] Przykłady

• Kolaps Mostowskiego zbioru przechodniego jest tym samym zbiorem. Zatem, w szczególności, kolaps Mostowskiego liczby porządkowej jest tą samą liczbą.
• Relacja < naturalnego porządku na zbiorze P parzystych liczb naturalnych jest zarówno ufundowana i ekstensjonalna. Kolaps relacji (P, < ) to zbiór liczb naturalnych

.

• W teorii forsingu często używa się kolapsów Mostowskiego w następującej sytuacji. Mamy daną pewną (dużą) regularną liczbą kardynalną χ i rozważamy rodzinę wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż χ. Przypuśćmy, że N jest przeliczalnym elementarnym podmodelem . (Istnienie takich podmodeli wynika z dolnego twierdzenia Löwenheima-Skolema.) Wówczas istnieje (jedyny) przeliczalny tranzytywny zbiór M taki, że model jest izomorficzny z .

Przypisy