Ciała globalne

Z Wikipedii

Ciała globalne to skończone rozszerzenia ciała liczb wymiernych (zwane ciałami liczbowymi) oraz ciała funkcji wymiernych jednej zmiennej nad ciałami skończonymi.

Przykłady

• kwadratowe ciała liczbowe , gdzie d jest liczbą całkowitą nie będącą kwadratem żadnej liczby naturalnej różnej od 1, np. .
• ciała funkcji algebraicznych nad ciałem skończonym takie jak .

Te dwie klasy ciał wyróżnia się, bo po pierwsze mają dużo nierównoważnych metryk zgodnych z działaniami (norm, waluacji), a po drugie szereg obiektów związanych z ciałami dla ciał globalnych można wyznaczyć badając (prostsze) obiekty związane z ich uzupełnieniami we wszystkich metrykach. Takie uzupełnienie jest ciałem lokalnym.

Na przykład ciało liczb wymiernych ma jedną metrykę archimedesową wartość bezwzględna różnicy:

ρ(x,y) = | x − y |

i jego uzupełnieniem w tej metryce jest ciało liczb rzeczywistych ,

oraz dla każdej liczby pierwszej p metrykę p-adyczną

ρ_p(x,y) = | x − y | _p gdzie ,

a jego uzupełnieniem w tej metryce jest ciało liczb p-adycznych.

Grupa multiplikatywna, Brauera, Witta itd. ciała liczb wymiernych jest (izomorficzna z) podgrupą iloczynu kartezjańskiego grup multiplikatywnych, Brauera, Witta itd. jego uzupełnień. Grupy Brauera czy Witta ciał lokalnych dużo łatwiej wyznaczyć.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.