Kruisingsdriehoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Gegeven twee driehoeken A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂. De kruisingsdriehoek van deze driehoeken is de driehoek met hoekpunten:

• 
• 
• 

Van de drie verkregen driehoeken is elke driehoek de kruisingsdriehoek van de andere twee.

[bewerk] Configuratie

Het belang van de kruisingsdriehoek zit in het feit dat als A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂ perspectief zijn, dan zijn A₁B₁C₁ en A₃B₃C₃ dat ook, evenals A₂B₂C₂ en A₃B₃C₃ met een gezamenlijke perspectiviteitsas. De drie perspectiviteitscentra D₁ (van A₂B₂C₂ en A₃B₃C₃), D₂ (van A₁B₁C₁ en A₃B₃C₃) en D₃ (van A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂) zijn dan collineair.

Hierdoor vormen de viertallen punten A_iB_iC_iD_i voor i = 1, 2, 3 de projectie op het platte vlak van een desmische configuratie.

[bewerk] Gekanteld

We kunnen de kruisingsdriehoeken "kantelen": ook elk van de driehoeken A₁A₂A₃, B₁B₂B₃ en C₁C₂C₃ is kruisingsdriehoek van de andere twee. Bovendien als de driehoeken A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂ perspectief zijn, dan is elk paar van deze drie dat ook. Met de punten

• 
• 
• 

op de perspectiviteitsas, krijgen we weer een desmische configuratie.

[bewerk] Bijzondere gevallen

• Als de hoekpunten van A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂ op een kegelsnede liggen, dan is volgens de stelling van Pascal hun kruisingsdriehoek ontaard.
• Is A₁B₁C₁ ingeschreven in A₂B₂C₂, dan is hun kruisingsdriehoek A₂B₂C₂ zelf.