Knuths pijlomhoognotatie
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is Knuths pijlomhoognotatie een notatie voor erg grote natuurlijke getallen geïntroduceerd door Donald Knuth in 1976. Het idee is gebaseerd op herhaalde machtsverheffing op dezelfde manier als machtsverheffen herhaalde vermenigvuldiging is, en vermenigvuldiging herhaalde optelling is.
Inhoud |
[bewerk] Inleiding
Vermenigvuldiging kan gedefinieerd worden als herhaalde optelling:
en machtsverheffing kan gedefinieerd worden als herhaalde vermenigvuldiging:
wat Knuth inspireerde tot de definitie van een 'dubbele pijl' operator voor herhaalde machtsverheffing of tetratie:
De bewerking moet hier en hieronder beschouwd worden van rechts naar links.
Volgens deze definitie geldt:
- etc.
Dit leidt al snel tot heel grote getallen, maar Knuth stopte hier niet. Hij ging verder om een 'drievoudige pijl' operator voor herhaalde toepassing van de 'dubbele pijl' operator te definiëren (ook bekend als quintatie):
gevolgd door een 'vierpijl' operator:
enzovoorts. De algemene regel is dat een n-pijl operator uit te schrijven is in een reeks (n − 1)-pijl operatoren. Symbolisch,
Voorbeelden:
[bewerk] Notatie
In uitdrukkingen zoals ab, de notatie voor machtsverheffing, is het de gewoonte om de exponent b als een superscript voor het grondtal a te schrijven.
De superscriptnotatie ab leende zichzelf slecht voor generalisatie, wat verklaart waarom Knuth verkoos te werken met de notatie a↑b.
[bewerk] Definitie
De pijlomhoognotatie is formeel gedefinieerd door:
voor alle natuurlijke getallen a, b en n met b ≥ 0 en n ≥ 1.
Alle pijlomhoogoperatoren (inclusief normale machtsverheffing, a↑b) zijn rechts associatief, dat wil zeggen dat de waardebepaling plaatsvindt van rechts naar links in een uitdrukking die meer dan twee van zulke operatoren bevat. Bijvoorbeeld, a↑b↑c = a↑(b↑c), niet (a↑b)↑c; bijvoorbeeld
[bewerk] Voorbeeld bij definitie
- 327
7.625.597.484.987
[bewerk] Tabel met waarden
[bewerk] Berekening 2↑m n
m\n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | formule |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 2n |
1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 2n |
2 | 2 | 4 | 16 | 65.536 | 265.536 | |||
3 | 2 | 4 | 65.536 | |||||
4 | 2 | 4 |
Opmerking: is de notatie voor een functionele macht (?) van de functie f(n) = 10n, zodat
enzovoorts.
[bewerk] Berekening 3↑m n
m\n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | formule |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 3n |
1 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 3n |
2 | 3 | 27 | 7.625.597.484.987 | 37.625.597.484.987 | ||
3 | 3 | 7.625.597.484.987 | ||||
4 | 3 |
[bewerk] Berekening 10↑m n
m\n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | formule |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 10n |
1 | 10 | 100 | 1000 | 10.000 | 100.000 | 10n |
2 | 10 | 10.000.000.000 | 1010.000.000.000 | |||
3 | 10 | |||||
4 | 10 |