Infinitesimaal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskunde is een infinitesimaal een object dat min of meer fungeert als getal en dat in de ordening van de reële getallen kleiner is dan ieder positief reëel getal, maar toch groter is dan nul. Infinitesimalen zijn aanvankelijk bedacht voordat men een goed begrip van limieten had. Zij fungeren eigenlijk als grootheden met limiet 0, waarmee gerekend wordt als waren ze nog net niet gelijk aan 0. Hanteert men daarbij de juiste rekenregels, dan ontstaat toch goed toepasbare theorie.

In de wis- en natuurkunde worden vaak redeneringen met infinitesimalen gehouden.

Infinitesimalen werden gebruikt om een eerste bruikbare differentiaal- en integraalrekening te ontwikkelen. Nog altijd wordt daarom deze gebieden wel met infinitesimaalrekening aangeduid.

Onder de reële getallen komen geen infinitesimalen voor. Om een theoretische basis aan infinitesimalen te geven is enerzijds door Abraham Robinson en Edward Nelson de niet-standaardanalyse (NSA) ontwikkeld, waarin een afgezwakte vorm van infinitesimalen voorkomt, en anderzijds door o.a. Coste, Roy en Pollack, een uitbreiding van de reële getallen ontwikkeld waarin voor zgn. algebraïsche infinitesimalen plaats is. De bekendste daarvan zijn de hyperreële getallen en de surreële getallen.

[bewerk] Geschiedenis

Reeds in de oudheid gebruikte Archimedes objecten zoals infinitesimalen voor bepaalde berekeningen, maar hij geloofde niet dat ze ook in de werkelijkheid bestonden.

Een systematisch gebruik van infinitesimalen vinden we bij Newton en Leibniz bij de ontwikkeling van de infinitesimaalrekening, de huidige differentiaal- en integraalrekening. Bijdragen leverden verder Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, de familie Bernoulli en vele anderen.

Een typische redenering, die nog altijd wel gehanteerd wordt, gaat als volgt: als de variabele x verandert met de infinitesimaal dx, verandert de functie y met de infinitesimaal dy. Omdat zowel dx als dy als verandering, dus als verschil tussen eind- en beginwaarde opgevat worden, noemt men ze differentialen. De verhouding van deze differentialen, het differentiaalquotiënt, is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, de afgeleide van y naar x.

Stel $y=x^2\,$ , dan is

${\rm d}y=(x+{\rm d}x)^2-x^2=2x{\rm d}x+({\rm d}x)^2\,$ .

Het differentiaalquotiënt is dus:

$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{2x{\rm d}x+({\rm d}x)^2}{{\rm d}x}=2x+{\rm d}x=2x$ ,

want dx is infinitesimaal (klein).

De redenering is dus analoog aan wat de moderne wiskunde doet door dx eindig te veronderstellen en de limiet te nemen voor dx naar 0.

$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\lim_{dx\downarrow 0}\frac{2x{\rm d}x+({\rm d}x)^2}{{\rm d}x}=\lim_{dx\downarrow 0}(2x+{\rm d}x)=2x$

Aanvankelijk stuitten infinitesimalen op onbegrip. In 1734 bekritiseert George Berkeley het werken met infinitesimalen in zijn werk: The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician.

Ook in de niet-standaardanalyse van Robinson (1960), waarin de hyperreële getallen als speciaal geval voorkomen, kan de boven gegeven afleiding gerechtvaardigd worden.