Driehoeksgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Driehoeksgetallen zijn de getallen uit de reeks 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... gedefinieerd door de formule:

met

a₁ = 1,

zodat

.

De naam komt van het feit dat ze kunnen worden gezien als de grootte van opeenvolgende driehoeken, meestal gelijkzijdige, soms rechthoekige gelijkbenige (zoals hiernaast wordt getoond). Een driehoeksgetal is daarmee een type veelhoeksgetal.

Het n-de driehoeksgetal wordt gegeven door de formule

.

Dit is met behulp van de afbeelding in te zien als men zich realiseert dat een driehoek kan worden opgevat als de helft van een rechthoek.
Ook kan het eenvoudig met volledige inductie worden bewezen:

Voor n=1 geeft deze formule:

Stel dat de formule waar is voor n-1, dat wil zeggen:

Dan geldt:

 .           .              .               .              .
            . .            . .             . .            . .
                          . . .           . . .          . . .
                                         . . . .        . . . . 
                                                       . . . . .
 1           3              6               10             15

[bewerk] Eigenschappen

• Ieder natuurlijk getal is te schrijven als som van drie driehoeksgetallen, nul inbegrepen. Dit is bewezen door Gauss (zie bijvoorbeeld Beukers,1999) in 1796. Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
• Een getal N is een driehoeksgetal dan en slechts dan als 8N+1 een kwadraat is.
• Het n^e driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een complete graaf met n knopen.

Bronnen, noten en/of referenties:

Beukers, F. (1999) Getaltheorie voor Beginners, Utrecht: Epsilon uitgaven.