Basistransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een basistransformatie is een begrip uit de lineaire algebra. Hiermee wordt een verandering van basis bedoeld. Bij een basistransformatie hoort een matrix van basisverandering. Met deze matrix is het gemakkelijk om elke vector die geschreven was als lineaire combinatie van basisvectoren van de ene basis, te schrijven ten opzichte van de andere basis.

Laat V een vectorruimte met dimensie n over het lichaam K zijn en $\,b_1,...,b_n$ en $\,c_1,...,c_n$ twee bases van V. Een vector x ∈ V heeft t.o.v. beide bases coördinaten:

$\,x=\xi_1 b_1+...+\xi_n b_n = \chi_1 c_1+...+\chi_n c_n$ .

De relatie tussen de coördinaten $\,\xi_1,...,\xi_n$ t.o.v. (b) en de coördinaten $\,\chi_1,...,\chi_n$ t.o.v. de basis (c) kan gevonden worden door de vectoren (c) uit te drukken in de basis (b):

$c_r=\gamma_{r1} b_1+...+\gamma_{r1} b_n =\sum_{k=1}^n\gamma_{rk} b_k$ .

Daarin zijn de n² getallen $\,(\gamma_{rk})$ niets anders dan de coördinaten van de basisvectoren (c) t.o.v. de basis (b).

Voor x volgt nu::

$x= \sum_{k=1}^n \xi_k b_k = \sum_{r=1}^n \chi_r c_r = \sum_{r=1}^n \chi_r \sum_{k=1}^n\gamma_{rk} b_k= \sum_{k=1}^n \sum_{r=1}^n \chi_r \gamma_{rk} b_k$ .

Omdat een vector maar op één manier als lineaire combinatie van basisvectoren kan worden geschreven, moet dus gelden dat:

$\xi_k = \sum_{r=1}^n \chi_r \gamma_{rk}$

Deze relatie is eigenlijk een afbeelding: $\Gamma: K^n \to K^n$ , die aan de coördinaten van een vector t.o.v. (c) de coördinaten t.o.v. (b) toevoegt. We noemen deze afbeelding een coördinatentransformatie.

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Basistransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken