Barycentrische coördinaten
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Barycentrische coördinaten vormen een coördinatenstelsel waarmee een punt vastgelegd wordt ten opzichte van de hoekpunten van een simplex, een generalisatie in meer dimensies van een driehoek. De naam komt van de term barycentrum, een ander woord voor massamiddelpunt of zwaartepunt. Zet men in de hoekpunten van de simplex massa's ter grootte van de barycentrische coördinaten van een punt, dan is het punt juist het zwaartepunt van de massa's. Barycentrische coördinaten zijn op een gemeenschappelijke factor na eenduidig. Het zijn dus de verhoudingen van de coördinaten die het punt bepalen. Het is daarom wel gebruikelijk de barycentrische coördinaten te scheiden door deeltekens (dubbelepunten). Barycentrische coördinaten zijn geïntroduceerd door August Ferdinand Möbius in (1827).
Is de simplex een gegeven driehoek ABC, dan kan een punt in het vlak van de driehoek door drie barycentrische coördinaten worden aangegeven. Het punt met barycentrische coördinaten (x:y:z) is het punt:
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Als in een vectorruimte de simplex met hoekpunten x1, x2 ,..., xm gegeven is en voor een punt y zijn er getallen a1, ..., am waarvoor geldt:
dan heten (a1:a2: ...:am) de barycentrische coördinaten van y ten opzichte van de simplex.
Dit betekent dat y het massamiddelpunt of zwaartepunt is van de massa's a1, a2, ..., am geplaatst in de hoekpunten x1, x2,..., xm van de simplex.
Barycentrische coördinaten zijn homogeen, wat wil zeggen dat voor verschillende waarden van c (ongelijk aan 0) de coördinaten (ca1:ca2: ...:cam)alle hetzelfde punt aanwijzen. In feite worden dus verhoudingen weergegeven, wat wordt geaccentueerd door de coördinaten te scheiden met een dubbele punt.
[bewerk] Voorbeeld
Voor de driehoek ABC zijn de barycentrische coördinaten van de hoekpunten
- A: (1:0:0)
- B: (0:1:0)
- C: (0:0:1)
Het zwaartepunt heeft barycentrische coördinaten (1:1:1).
[bewerk] Alternatieve definitie met oppervlaktes
De barycentrische coördinaten van een punt P ten opzichte van een driehoek worden gegeven door het tripel
waarbij de bijvoorbeeld Opp(PBC) positief is als PBC en ABC dezelfde oriëntatie hebben, en negatief als de oriëntaties tegengesteld zijn.
[bewerk] Genormaliseerde barycentrische coördinaten
Vaak wordt gewerkt met genormaliseerde barycentrische coördinaten, dat wil zeggen dat de som van de coördinaten gelijk is aan 1. In dat geval worden de coördinaten wèl gescheiden met komma's. De absolute barycentrische coördinaten van het zwaartepunt van een driehoek zijn bijvoorbeeld 
.
[bewerk] Verband met Cartesische coördinaten
Als de hoekpunten van een driehoek in een vlak gegeven zijn in Cartesische coördinaten als A = (xA,yA), B = (xB,yB) en C = (xC,yC), dan zijn de Cartesische coördinaten voor het punt met genormaliseerde barycentrische coördinaten (u:v:w)
[bewerk] Lijnen in het vlak
Drie punten P1 = (x1:y1:z1), P2 = (x2:y2:z2) en P3 = (x3:y3:z3) zijn collineair, dan en slechts dan als: 
Hieruit volgt dat een lijn in barycentrische coördinaten wordt gegeven door een formule van de vorm fx + gy + hz = 0, in het bijzonder is de lijn door P1 en P2 gegeven door (y1z2 − y2z1)x + (z1x2 − z2x1)y + (x1y2 − x2y1)z = 0
Soms worden de coëfficiënten van zo'n lijn weergegeven als barycentrische lijncoördinaten, geschreven als [f:g:h], met vierkante haken. Dit weerspiegelt de dualiteit van lijn en punt in het projectieve vlak. Drie lijnen ![\ell_1=[x_1:y_1:z_1]](../../../../math/2/7/b/27bb68ca4929f59edd2e0e53913e0982.png)
, ![\ell_2=[x_2:y_2:z_2]](../../../../math/8/0/c/80c0da1fb1143308ea9b1c41a024203b.png)
en ![\ell_3=[x_3:y_3:z_3]](../../../../math/3/2/7/32708336dd27d9f36353407945960209.png)
zijn concurrent dan en slechts dan als de determinant hierboven gelijk is aan 0.
[bewerk] De oneindig verre rechte
Een speciale plaats wordt ingenomen door de lijn ![\ell^\infty=[1:1:1]](../../../../math/2/e/d/2edf5bb46452100c3f1481a4427c7722.png)
, de oneindig verre rechte. Punten die op deze rechte liggen hebben geen genormaliseerde barycentrische coördinaten.
