Racionaliųjų funkcijų integravimas
Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Straipsnis turi prasidėti aiškiu apibrėžimu. Jei galite, prašome parašyti apibrėžimą. |
Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas. Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi. |
Šis straipsnis yra apie racionaliųjų funkcijų integravimą.
Turinys |
[taisyti] Integravimas funkcijų turinčių kvadratinį trinarį
kur u = 2ax + b; du = 2adx; 4ac − b2 = s; s>0.
kur u = 2ax + b; du = 2adx; 4ac − b2 = s; s > 0; d(u2 + s) = 2du.
Pritaikę pirmajam iš gautų integralų keitinį ax2 + bx + c = t, (2ax + b)dx = dt, gauname:
[taisyti] Pavyzdžiai
kur x + 2 = t; x = t − 2; dx = dt.
kur u = 6x − 5; du = 6dx;
kur u = x + 3; du = dx; x = u − 3. Šį uždavinį galima išspresti ir naudojantis aukščiau pateikta formule: kur 2x + 6 = u; du = 2dx; d(u2 − 196) = 2udu. Abiejų būdų atsakymai gali skirtis konstanta.
kur u = x − 3; du = dx; x = u + 3.
kur x + 2 = t, dx = dt.
kur d(x2 + 4x + 10) = (2x + 4)dx; d(x + 2) = dx.
[taisyti] Racionalių trupmenų išskaidymas elementariosiomis
x2 + 4x − 2 = A(x + 2)(x − 2) + Bx(x − 2) + Cx(x + 2) = A(x2 − 4) + B(x2 − 2x) + C(x2 + 2x). Iš čia sudarome sistemą:
- A + B + C = 1,
- − 2B + 2C = 4,
- − 4A = − 2.
Iš sistemos randame: Vadinasi,
Irašę šią reikšmę į pačią pirmąją lygybę, gauname:
- Taikydami keitinį x − 3 = u, gauname:
Šį rezultatą buvo galima gauti iš karto remiantis lygybe. Mūsų atveju M = 1, N = 0, p = − 6 ir q = 12. Todėl
15x2 − 4x − 81 = A(x + 4)(x − 1) + B(x − 3)(x − 1) + D(x − 3)(x + 4) = A(x2 + 3x − 4) + B(x2 − 4x + 3) + D(x2 + x − 12). Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname tiesinių lygčių sistemą
- A + B + D = 15,
- 3A − 4B + D = − 4,
- − 4A + 3B − 12D = − 81.
Iš sistemos randame: A = 3; B = 5; D = 7. Vadinasi
- = 3ln | x − 3 | + 5ln | x + 4 | + 7ln | x − 1 | + C = ln | (x − 3)3(x + 4)5(x − 1)7 | + C.
x + 2 = A(x − 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Dx(x − 2) = A(x2 − x − 2) + B(x2 + x) + D(x2 − 2x);
- A + B + D = 0;
- − A + B − 2D = 1;
- − 2A = 2;
A = − 1;
2x2 − 3x + 3 = A(x − 1)2 + Bx + Dx(x − 1) = A(x2 − 2x + 1) + Bx + D(x2 − x).
- A + D = 2,
- − 2A + B − D = − 3,
- A = 3.
A = 3; B = 2; D = − 1.
kur 2x − 1 = A(x − 2) + B(x − 3) = (A + B)x − 2A − 3B. Sulyginam koeficientus vienodu laipsnių ir turime sistemą:
- A + B = 2;
- − 2A − 3B = − 1.
Iš kur A = 5; B = − 3. Tuomet
- 9x3 − 30x2 + 28x − 88 = A(x − 4)(x2 + 4) + B(x − 2)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 − 6x + 8) =
- = (A + B + C)x3 + ( − 4A − 2B − 6C + D)x2 + (4A + 4B + 8C − 6D)x + ( − 16A − 8B + 8D);
Palyginam koeficientus prie vienodų laipsnių x.
- x3 | A + B + C = 9,
- x2 | − 4A − 2B − 6C + D = − 30,
- x1 | 4A + 4B + 8C − 6D = 28,
- x0 | − 16A − 8B + 8D = − 88,
Išsprendę sistemą , randame: A = 5; B = 3; C = 1; D = 2. kur d(x2 + 4) = 2xdx.
x + 2 = A(x − 2) + A1(x + 1)(x − 2) + A2(x + 1)2(x − 2) + B(x + 1)3 = (A2 + B)x3 + (A1 + 3B)x2 + (A − A1 − 3A2 + 3B)x + ( − 2A − 2A1 − 2A2 + B).
- x3| 0 = A2 + B,
- x2| 1 = A1 + 3B,
- x1| 0 = A − A1 − 3A2 + 3B,
- x0| 2 = − 2A − 2A1 − 2A2 + B.
Išsprendę sistema, randame: