평행선 공준

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기하학에서 평행선 공준은 원론에 등장하는 다섯 개의 공준 중 마지막으로, 내용은 다음과 같다:

한 선분을 서로 다른 두 직선이 교차할 때, 두 내각의 합이 직각의 두 배보다 작으면, 이 두 직선을 무한히 연장하면 두 내각의 합이 직각의 두 배보다 작은 쪽에서 교차한다.

유클리드 기하학은 원론에 등장하는 다섯 공준을 전부 인정하는 기하학이며, 그 중에서 평행선 공준을 빼고 이에 모순되는 공준을 추가하여 구성되는 기하학을 비유클리드 기하학이라고 한다. 또한, 이 다섯 번째 공준를 제외한 네 개의 공준만 사용하는 기하학은 절대기하학이라고 한다.

존 플레이페어는 이 명제와 동치이면서 더 간단한 다음의 명제를 발견하였다:

한 직선에 평행이고 한 점을 지나는 직선은 하나뿐이다.

이 명제는 플레이페어의 이름을 따 플레이페어의 공리라고 부른다.

[편집] 역사

평행선 공준은 원론의 공준 중 다른 네 공준보다 직관적이지 못하다. 따라서 몇몇 수학자들은 이 공준이 다른 명제들로부터 증명될 수 있을지도 모른다고 생각했다. 또한 다른 몇몇 수학자들은 이 공준의 부정을 가정하여 모순을 이끌어내려고 하였다.

결국 19세기에 이 공준는 증명될 수 없음이 밝혀졌고, 또한 이것의 반대 상황을 가정해도 모순이 없다는 것이 밝혀졌다. 이러한 결과를 1829년 니콜라이 이바노비치 로바쳅스키가 한 러시아 저널에 발표하였다. (1840년에 독일어로 다시 출판되었다.) 또한 1831년 야노시 보여이가 로바쳅스키와는 독자적으로 그의 아버지의 논문에 이러한 발견을 실었다. 카를 프리드리히 가우스가 이러한 문제를 연구했다는 설도 있지만, 그는 이러한 내용을 출간하지 않았다.

이 새로운 기하학은 후에 니콜라이 이바노비치 로바쳅스키, 베른하르트 리만과 앙리 푸앵카레에 의해 쌍곡기하학과 구면기하학으로 발전되었다.