추상대수학
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추상대수학(抽象代數學)은 수학의 한 분야로 대수적 구조(algebraic structure)인 군, 환, 체를 연구하는 분야이다. "추상대수학"이라는 용어는 "기초대수학" 또는 "고등학교 대수학"과 구별하기 위한 것으로, 후자는 실수와 복소수에 관련된 대수적 표현과 공식들을 다루는 정확한 규칙을 가르치는 분야이다.
역사적으로 볼 때, 대수적 구조는 처음에는 수학의 몇몇 다른 영역에서 생겨난 것으로, 공리적으로 상술된 후에서야 추상대수학에서 제자리를 찾아 연구되기 시작하였다. 이 때문에 추상대수학은 수학의 다른 모든 분야와 수많은 관련성을 낳게 되었다.
대수적 구조의 예로 하나의 이항연산을 가진 것에는:
- 반군(semigroup)
- 모노이드(monoid) : 단위원(항등원)이 있는 반군
- 유사군(quasigroup)
- 군(group)
더 복잡한 예로는:
- 환(ring)과 체(field)
- 가군(module)과 벡터공간(vector space)
- 결합적 대수(associative algebra)와 리대수(Lie algebra)
- 격자(lattice)와 불 대수(Boolean algebra)
이런 모든 대수적 구조에 공통되는 특성은 범주 이론(category theory)에서 연구된다. 범주 이론은 서로 다른 대수적 구조들을 비교하고 둘 사이의 대응 관계를 연구할 수 있는 형식적 수단을 제공해 준다.
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