질량 중심

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질량 중심(質量中心)은 물체 전체의 질량의 중심점으로, 전체 질량이 질량 중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다.

미분 질량의 위치를 질량가중치(미분질량/전체질량)를 곱하여 적분한 것이다.

[편집] 정의

입자계의 질량의 중심 $\mathbf{R}$ 은 위치계 위치 $\mathbf{r}_i$ 의 평균으로 정의된다.:

$\mathbf{R} = { \sum m_i \mathbf{r}_i \over \sum m_i }$

질량 밀도 $\rho(\mathbf{r})$ 와 총 질량 $M$ 에 대한 연속 분포의 경우, 총합은 적분이 된다.:

$\mathbf R =\frac 1M \int \mathbf{r} \; dm = \frac 1M \int\rho(\mathbf{r})\, \mathbf{r} \ dV =\frac{\int\rho(\mathbf{r})\, \mathbf{r} \ dV}{\int\rho(\mathbf{r})\ dV}$

물체가 균일한 밀도를 갖추고 있으면 질량 중심은 그 형태의 도심과 같다.

기하학 수식을 이용하면, 도형 D에 대해 점 g가 D의 중심이라는 뜻으로 다음과 같이 성립된다:

$\int_D (\mathbf{g - x})\,d\mathbf{x} = \mathbf{0}.$

또, 도형 D와 그 주변의 각 점 x가 밀도 f(x)를 가질 경우, 그 중심 g는

$\int_D (\mathbf{g - x})f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} = \mathbf{0}$

를 채우는 점 g이다. 물론 g가 D 밖의 점일 수도 있다.

[편집] 임의의 2차원 물리 형태의 중심 질량

이 방식은 알 수 없는 크기의 복잡한 평면 물체의 중력 중심을 찾아내려고 할 때 유용하다.


1 단계: 임의의 2차원 모형.	2 단계: 다림줄을 놓고 그 위치에 O 표한다.	3 단계: 다림줄을 다시 놓고 O 표한다. 두 선의 교점이 중력의 중심이다.

[편집] 애니메이션

천체역학에서 두 개의 구상 전체의 중심과 궤도에는 다음과 같은 보기를 들 수 있다.

\| 질량이 거의 같은 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (이를테면 소행성 반작용계)	\| 질량이 조금 다른 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (이를테면, 명왕성과 카론계)	\| 질량이 어느 정도 다른 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (이를테면, 지구와 달의 계)	\| 질량이 크게 다른 두 천체가 같은 중심 주위를 공전한다. (이를테면, 태양과 지구의 계)
\| 질량이 거의 같은 두 천체가 같은 중심 주위를 타원 궤도를 그리며 공전한다. (이를테면, 쌍성의 공전 형태)