원통 좌표계

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

원통 좌표계 (cylindrical coordinate system)는 3차원 공간을 나타내기 위해, 평면 극좌표계에 평면에서부터의 높이 z (혹은 h)를 더해, r, θ, z 로 이루어지는 좌표계이다.

원통좌표계는 한 축을 중심으로 대칭성을 갖는 경우에 유용하다. 예를 들면, 무한히 긴 반지름이 c인 원통의 직교좌표계에서의 식은 x² + y² = c² 이지만, 원통좌표계에서는 간단히 r = c가 된다. 이런 이유로 원통좌표계(cylinder-ical coordinate)란 이름이 붙어있다.

[편집] 정의

3차원 공간의 점 P 는 $(r,θ, z)$ 로 표시된다. 이를 직교좌표계로 표시해 보면 다음과 같다.:

$r$ 은 원점 O 에서 P의 XY평면으로의 사영 P'까지의 거리를 나타낸다. 다시 말하면, r은 z축에서 P까지의 거리이다.
$θ$ 는 양의 x축 방향에서 반시계 방향으로 측정한 OP'까지의 각이다.
$z$ 는 $z$ 와 같다.

z에 높이(height)란 의미를 주어 z대신 h를 사용한 $(r,θ, h)$ 란 표기도 자주 쓰인다.

원통좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

r ≥ 0

0 ≤ θ ≤ 2π

z : 제한 없음

[편집] 원통좌표계에서 직교좌표계로의 변환식

x = r cosθ

y = r sinθ

z = z

[편집] 직교좌표계에서 원통좌표계로의 변환식

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan\frac{y}{x}$

$z = z\,$

[편집] 단위벡터

각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다.

$\hat{\mathbf{r}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dr}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dr}\right|} = \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{bmatrix}$

$\hat{\mathbf{\theta}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{bmatrix}$

$\hat{\mathbf{z}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dz}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dz}\right|} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

[편집] 유용한 공식들

Volume Element

$\, {d V} = r d r d \theta dz$

Gradient(그라디언트)

$\nabla = \hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}$

Divergence(발산)

$\nabla \cdot \bold{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} r F_r + \frac{1}{r } \frac{\partial}{\partial \theta} F_\theta + \frac{\partial}{\partial z} F_z$

Curl

$\nabla \times F = \frac{1}{r } \begin{vmatrix} \hat{r} & r\hat{\theta} & \hat{z} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial r}} & {\frac{\partial}{\partial \theta}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ F_r & rF_\theta & F_z \end{vmatrix}$

Laplacian(라플라시안)

$\nabla^2 = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$