몬티 홀 문제
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몬티 홀 문제(Monty Hall problem)는 미국의 TV 게임 쇼 《Let's Make a Deal》에서 유래한 퍼즐이다. 퍼즐의 이름은 이 게임 쇼의 진행자 몬티 홀의 이름에서 따온 것이다. 퍼즐의 내용은 다음과 같다.
- 세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 한 문뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 이때 어떤 사람이 예를 들어 1번 문을 선택했을때, 게임쇼 진행자는 3번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 1번 대신 2번을 선택하겠냐고 물었다. 이때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까?
[편집] 풀이
바꾸는 것이 유리하다. 처음 선택한 번호를 바꾸지 않을 때 자동차가 있는 문을 선택할 확률은 1/3이지만, 처음 선택한 번호를 바꾸면 확률은 2/3으로 증가한다.
문 뒤에 자동차가 있는 경우를 O, 없는 경우를 X, 처음 선택했다가 바꿨을 때 처음 선택한 문을 S라 하자.
선택지를 바꾸지 않는다면 모든 경우의 가지는 다음과 같다.
(O,X,X) (X,O,X) (X,X,O)
이 때 자동차를 선택할 확률은 1/3이다.
처음 선택한 것을 S라 했을 때 문을 바꾸어서 자동차를 선택하는 경우는 다음과 같다. (물론 이 경우 보여지는 것은 남은 X이다)
(O,S,X) (O,X,S) (S,O,X) (X,O,S) (X,S,O) (S,X,O)
반면 옮겨서 틀리는 경우는 다음과 같다. (보여지는 것은 선택하지 않은 둘 중 하나겠지만, 바꿨다가 틀린다는 점에서 변함이 없다. 옮겨서 틀린다는 것은 바꿔 말하면 가만히 있어서 맞을 것들을 의미한다)
(S,X,X) (X,S,X) (X,X,S)
세 가지가 있다.
하나가 공개 되었을 때 바꿔서 맞을 가지수는 전체 9가지 중에 6가지, 즉 2/3이다.
본디 1/3이었던 확률이 2/3으로 증가한 것이다.
[편집] 참고 사항
위의 풀이는 진행자가 항상 염소가 있는 문을 연다는 가정 하에 성립한다. 다른 경우, 예를 들어 진행자가 문을 무작위로 열거나, 참가자가 선택한 문 뒤에 있는 상품의 내용에 따라 문을 열지 않는다면 확률이 달라질 수 있다.
[편집] 바깥 고리
- 수학의 패러독스 - 몬티홀 문제에 대한 설명은 밑에서 두번째 항목임.
