드람 코호몰로지

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수학에서 드람 코호몰로지(de Rham cohomology)는, 대수적 위상수학과 미분 위상수학 모두에 속하는 이론으로, 미분 형식(differential form)을 이용해서 미분다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할수 있게 할 뿐만 아니라, 계산 측면에서도 효율적인 편리한 도구이다. 미분다양체에서는 가장 효율적으로 쓰일수 있는 기본적인 도구라고 할 수 있다. 이와 유사하거나, 아니면 쌍대(dual)관계에 있는 것들은 특이 호몰로지(singular homology)이론과 알렉산더-스파니에 코호몰로지이론등이 있다.

[편집] 정의

$M$ 을 어떤 미분다양체라고 하자. 이때에 $M$ 위에서 정의되는 모든 매끈한 실계수 $k$ -미분 형식들의 집합은 덧셈에 대해서 가환군을 형성하고, 이 집합을

Ω k (M)

로 표시한다. 사실은, 이 군은 실 벡터 공간이 된다.

한편, 외미분(exterior derivative) $d$ 는 연산자

$d: \Omega^k (M) \to \Omega^{k+1} (M)$

을 정의한다.

이 외미분은 관계식

d 2 = 0

를 만족하는데, 이것은 2차 편미분의 대칭성

$\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}$

에서 나온다. 따라서, 이 $k$ -미분형식들의 벡터 공간들과 외미분 연산자는 공사슬 복합체(cochain complex)를 생성한다. 이 공사슬 복합체를 드람 복합체라고 부른다:

$C^\infty(M) = \Omega^0(M)\to \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \ldots.$

미분기하의 용어로 설명하자면, 미분 형식 중, 다른 형식의 외미분으로 표시되는 것들을 완전 형식(exact form)으로 부르고, 외미분이 0이 되는 것을 닫힌 형식(closed form)으로 부른다. 한편, $d 2 = 0$ 이 성립하므로 완전 형식은 항상 닫힌 형식이다라는 것을 바로 알 수 있다.

그러나 반대는 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 닫힌 형식이 항상 완전 형식이 되는 것은 아니다. 드람 코호몰로지의 기본적인 아이디어는 바로, 이러한 여러가지 종류의 닫힌 형식들을 어떤 방식으로 분류해 보는 시도라고 할 수 있다. 좀 더 자세하게 말하자면, $Ω k (M)$ 안에 있는 두개의 닫힌 미분 형식 $α,β$ 이 코호몰로그이다는 것은, 이 두 형식이 완전 형식 만큼만 차이가 나는 것으로 정의하는데, 이것이 바로 드람 코호몰로지에서 쓰는 분류 방법이다. 두 형식이 완전 형식 만큼만 차이가 난다는 말은 다시 말하자면 $α - β$ 가 완전 형식이라는 말이다. 이러한 분류 방법은 닫힌 미분 형식들의 집합 $Ω k (M)$ 위에 동치 관계(equivalence relation)를 주게 되는데, 따라서 우리는 $k$ -번째 드람 코호몰로지 군을

$H^k _{dR} (M)$

로 정의할 수 있다. 즉, 이 군은, 동치 류들의 모임이다.

아주 초보적인 경우로, 다양체 $M$ 이 n개의 연결 성분(connected component)를 가진다면,

$H^0 _{dR} (M) = \mathbb{R} ^n$

가 된다. 여기서 등호는, 군 동형 사상이 있음을 뜻한다. 이 사실을 다른 말로 하자면, 다양체 $M$ 위에서 정의된 임의의 매끈한 함수가 만약 그 미분이 0이라면, 이것은 각각의 연결 성분에서는 상수 함수 여야 한다는 것을 뜻한다.

[편집] 드람 코호몰로지 계산 예

항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를들면 마이어-비에토리스 수열(Mayer-Vietoris sequence)등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.

n-구체

n-차원 구체의 코호몰로지 군은 $H_{dR}^{k}(S^n) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases}$ 이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 $I$ 가 임의의 선분일때에, $H_{dR}^{k}(S^n \times I^m) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases}$ 도 성립한다.

n-토러스

$H_{dR}^{k}(T^n) \simeq \mathbb{R}^{n \choose k}$

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은, $\mathbb{R}^n - \{0\}$ 를 말한다. 이때에,

$H_{dR}^{k}(\mathbb{R}^n - \{0\})$	$\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}$
	$\simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1})$