기수 (집합)

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Aleph-0은 가장 작은 무한기수이다.

수학에서 기수(cardinal)는 수의 일종으로 집합의 크기를 나타내기 위해 사용된다. 여기에서 크기는 간단히 말해 포함된 원소의 수를 뜻하며, 집합론의 용어로는 농도라고 한다. 유한집합의 농도는 자연수로 나타낼 수 있으나, 무한집합의 농도를 나타내기 위해서는 보다 일반적인 기수의 개념이 필요하다. 무한집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 농도를 가질 수도 있다. 그러나, 모든 무한집합이 같은 농도를 갖는 것은 아니며, 실제로는 무한집합들 사이에도 그 크기에 다양한 구분이 있다.

기수는 $0, 1, 2, 3, \cdots n, \cdots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \aleph_{\alpha}, \cdots$ 등으로 진행된다. 즉, 가장 작은 기수들은 0과 자연수들이며, 그 뒤에는 알레프 수들이 따른다. 임의의 서수가 알레프 수의 첨수(index)가 될 수 있으며, 따라서 어떤 의미에서 알레프 수는 서수 만큼이나 많다. 동시에, 자연수와 알레프 수는 서수들의 모임의 부분모임이다. 선택공리를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한기수가 있을 수도 있다.

[편집] 정의

선택공리를 가정할 경우, 집합 X의 농도는 X와 α 사이에 일대일대응이 존재하는 가장 작은 서수 α로 정의하며, 이와 같이 특정한 집합의 농도가 되는 서수를 기수라 한다. 선택공리를 가정하지 않는 경우에는 정렬순서정리를 사용할 수 없으므로 다른 정의를 만들 필요가 있다. 가장 오래된 정의는 X의 농도를 그와 일대일대응이 존재하는 모든 집합들의 집합으로 잡는 것인데, 이것은 ZFC를 비롯한 여러 공리적 집합론 체계에서는 집합이 되기에 지나치게 크다는 문제점이 있다. (유형론이나 새기초 등의 체계에서는 이 정의를 그대로 사용할 수 있다.) 이를 피하기 위해 대너 스코트(Dana Scott)가 개발한 방법으로, 집합 X의 농도를 이와 같은 계수를 갖는 모든 집합들의 집합으로 정의할 수 있다.

[편집] 따름기수와 극한기수

서수의 경우와 비슷하게 기수에 대해서도 따름기수를 정의할 수 있다. 유한 기수의 따름기수는 따름서수와 차이가 없으나, 무한의 경우에는 무한서수와 그 따름서수의 농도가 같으므로 다른 정의를 필요로 한다. 따라서, 폰 노이만 기수 배정법과 선택공리를 이용해 기수 κ의 따름기수 κ⁺를 다음과 같이 정의한다:

$\kappa^+ = |\inf \{ \lambda \in ON \ |\ \kappa < |\lambda| \}|.$

여기에서 ON은 서수들의 모임이다. 즉, κ로부터의 단사함수가 존재하지만 κ로의 단사함수는 존재하지 않는 가장 작은 서수의 농도를 κ⁺라 한다.

하톡스의 정리에 따르면 임의의 정렬순서가능한 기수에 대해 그보다 더 큰 정렬순서가능한 기수를 구성할 수 있으므로, 위의 집합이 공집합이 아님을 알 수 있다. 또한 서수는 정렬순서집합이므로 최소원소가 실제로 존재한다. 따라서 κ와 κ⁺ 사이에 기수가 존재하지 않음을 알 수 있다. 위의 따름기수 연산은 수많은 서수를 건너뛰며, 실제로 임의의 무한기수는 극한서수이다. 즉, 기수들은 서수들 중에 상당히 드물게 분포하는 것이다.

역시 서수의 경우와 마찬가지로, 따름기수가 아니고 0도 아닌 기수를 극한기수라 한다. 또한 이를 약극한기수라고 부르기도 하는데 이는 아래에서 정의할 강극한기수와 구별하기 위함이다. 위의 논의에서 알 수 있듯 극한기수라는 것은 극한서수보다 훨씬 강한 조건이다. 그러나 알레프 연산을 적용하면 둘 사이의 관계를 볼 수 있는데, $\aleph_{\alpha}$ 가 극한기수일 필요충분조건은 α가 극한서수이거나 0이라는 것이다.

멱집합 공리가 제공하는 멱집합 연산을 이용하면 어떤 집합에서 출발하든 그보다 훨씬 더 큰 집합으로 나아갈 수 있다. 이를 이용해, 멱집합 연산까지 사용해도 도달할 수 없는 기수를 강극한기수라 정의하자. 보다 구체적으로 말해, 기수 λ가 강극한기수라는 것은, κ < λ를 만족하는 기수 κ가 존재하며, 그러한 임의의 기수 κ에 대해 2^κ < λ라는 뜻이다. 임의의 기수 λ에 대해 λ⁺ ≤ 2^λ가 성립하므로 모든 강극한기수는 약극한기수이다. 일반 연속체 가설은 위의 부등식에서 언제나 등호가 성립한다는 가정인데, 이것이 사실이라면 강극한기수와 약극한기수는 동일한 개념이 된다.