군 준동형사상

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수학에서, 군 (G, *)에서 군 (H, ·)로 가는 함수 h: G -> H가 다음의 성질을 만족시키면 이를 군 준동형사상(group homomorphism)이라 한다:

h(u * v) = h(u) · h(v).

문맥상 의미가 명확할 때에는 이를 단순히 준동형사상이라고도 한다.

이 성질로부터 h가 G의 단위원 e_G를 H의 단위원 e_H로 보냄을 보일 수 있다. 또한 h는 역원을 역원으로 보내며(기호로 쓰면 h(u^-1) = h(u)^-1), 따라서 h는 "군의 구조를 보존한다"고 말한다.

[편집] 핵과 상

준동형사상 h의 핵(kernel, 커널)과 상(image)은 각각

ker(h) = { u는 G의 원소 : h(u) = e_H }

im(h) = { h(u) : u는 G의 원소 }

로 정의한다. 여기에서 h의 핵은 G의 정규부분군(h(g^-1ug) = h(g)^-1h(u)h(g) = h(g)^-1e_Hh(g) = h(g)^-1h(g) = e_H)이며, 상은 H은 부분군임을 알 수 있다. 준동형사상 h가 단사일 필요충분조건은 ker(h) = {e_G}이다.

[편집] 예

순환군 Z/3Z = {0, 1, 2} 과 Z에 대해, 사상 h : Z → Z/3Z 가 h(u) = u mod 3 로 정의된다면, 이는 군 준동형사상이다. 사상은 전사(surjective)이며, 핵은 3으로 나누어 떨어지는 모든 정수의 집합이다.
지수사상은 덧셈에 대한 실수 R 군에서 곱셈에 대한 양의 실수 R^* 군으로의 준동형사상이다. 핵은 {0}이 되고, 상은 양의 실수가 된다.
지수사상은 또한 덧셈에 대한 복소수 C 군에서 곱셈에 대한 영이아닌 복소수 C^* 군으로의 준동형사상이다. 사상은 전사이며, 핵은 { 2πki : k in Z }이 된다.
두 군 G와 G가 있을 때, G의 모든 원소를 H의 항등원으로 보내는 G에서 H로의 사상 h는 준동형사상이며, 이 때의 핵은 G 전체가 된다.
군 G에서의 항등사상 id : G → G , id(u) = u 는 준동형사상이다.