規格化

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この項目では量子力学での波動関数の規格化について記述しています。工業・産業での規格化については標準化を、ベクトル、数量、データなどの規格化については正規化をご覧ください。

規格化(normalization)

ある空間で粒子が一つ存在し、それを記述する波動関数をΨとすると、Ψのノルムに関して、

$\int | \Psi |^2 d \mathbf{r} = 1$

とすることをが規格化（正規化とも言う）である。積分は当該粒子の存在する全空間に対して行われる。積分の範囲は、その粒子のなす系に課された境界条件によって変わる。一つの例として周期的境界条件に基づく結晶格子では、以下のようにその単位胞内で規格化のための積分が行われる。

$\int_{V_{cell}} | \Psi |^2 d \mathbf{r} = 1$

ここで、V_cellは単位胞の体積である。

直交座標系を考えて、r=(x,y,z)とし、更に時間tも考えると、一粒子の波動関数は $\Psi = \Psi(x,y,z,t) = \Psi(\mathbf{r},t)$ で表され、これは、

$\int | \Psi |^2 d \mathbf{r} = \int | \Psi (\mathbf{r}, t) |^2 d \mathbf{r} = 1$

と規格化される。これは、ある時刻ｔで粒子が位置rでの微小な領域dr(=dxdydz)に存在する確率が、 $| \Psi (\mathbf{r}, t) |^2 d \mathbf{r}$ であることを示している。それを全空間（粒子の存在しうる全領域）で積分すれば、確率の総和は1となる必要がある。この要請を満たすために規格化を行う。実際の数値計算等で求められる波動関数は、そのままでは上記の積分が1となる保証はないので、積分値が1となるように規格化される。

カテゴリ: 量子力学

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