曲率

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曲率 (Curvature) とは曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。例えば半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。

[編集] 曲線の曲率

[編集] 定義

ある任意の曲線において、線上の点 P₀ を基点とし、そこから曲線上の任意点 P（位置ベクトル r_P で表されるとする）までの距離を s とする。(この場合のsは一般座標上の距離か曲線状の長さのいずれでもよい。）

このとき　点 Pの位置は、

$\mathbf{r}_P = \mathbf{r}(s)$

というように、変数s の関数として表すことができる。(以下、特に断らない限り r_P = r とする。)

このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル（これを t_P とする）は、

$\mathbf{t}_P = \mathbf{t} (s) = \lim_{\Delta s \to 0} {\mathbf{r} (s + \Delta s) - \mathbf{r} (s) \over {\Delta s} } = {d \mathbf{r} \over {ds} }$

となる。（位置ベクトルの変位分 Δ r が十分小さい時、|Δ r| = Δ s だから単位ベクトルである。）

同様にして

$\mathbf{r}_Q = \mathbf{r} (s + \Delta s)$

と表される点 Qを考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトルt_Qは、

$\mathbf{t}_Q = \mathbf{t} (s + \Delta s)$

であり、二つの単位接線ベクトルt_P 、t_Qのなす角度を θ とすると

${ \left| \mathbf{t}_Q - \mathbf{t}_P \right| \over 2}= \sin {\theta \over 2}$ 　であり、θが十分小さい、すなわちΔsが十分小さいとき　(点Pと点Qが十分接近しているとき）、

$\theta = \sin\theta = \left| \mathbf{t}_Q - \mathbf{t}_P \right|$ 　と見做せる。

従って接線傾斜θの変動率であるχを以下のように定義できる。

$\chi(s) = { d \mathbf{\theta } \over {ds} } = \lim_{\Delta s \to 0} {\Delta \theta \over {\Delta s} } = \lim_{\Delta s \to 0} \left| {\mathbf{t} (s + \Delta s)-\mathbf{t} (s) \over {\Delta s} } \right | = \left | { d \mathbf{t} \over {ds} } \right | = \left | { d^2 \mathbf{r} \over {ds}^2 } \right | = {1 \over R(s)}$

となる。

一般に χを曲率、χの逆数であるR を曲率半径と言う。

また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。

[編集] 性質

更に、t を s で微分すると、

${ d \mathbf{t} \over {ds} } = { d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } = \mathbf{n} {d \theta \over {ds} } = {\mathbf{n} \over R}$

が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、

$\left( {d \mathbf{r} \over {ds} } \right)^2 = \left | { d \mathbf{r} \over {ds} } \right |^2 = 1$

となり、これを s について微分すると、

${d \over {ds} } \left( {d \mathbf{r} \over {ds} } \right)^2 = {d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } \cdot {d \mathbf{r} \over {ds} } + {d \mathbf{r} \over {ds} } \cdot {d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } = {\mathbf{n} \over R} \cdot \mathbf{t} + \mathbf{t} \cdot {\mathbf{n} \over R} = 0$