時不変系
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時不変系（英: Time-invariant system）とは、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号 x によって出力 y が生成されるとき、時間をシフトさせた入力 
では出力も 
となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。
形式的には、S をシフト作用素としたとき（Sδx(t) = x(t − δ)）、次が成り立つ T を時不変作用素と呼ぶ。
- T(Sδx) = Sδ(Tx)
この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。
- 系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。
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[編集] 単純な例
系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。
- 系 A:
- 系 B:
系 A は x(t) と y(t) 以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。
[編集] 形式的な例
次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義（系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である）を利用する。
系 A:
- 遅延のある入力
を与えると、次のようになる。
- ここで出力を δ のぶんだけ遅延させる。
であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。
系 B:
- 遅延のある入力 を与えると、次のようになる。
- ここで出力を δ のぶんだけ遅延させる。
であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。
[編集] 抽象的な例
シフト作用素を 
と表す。ここで、r はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系
は、ここでの抽象的記法では次のようになる。
ここで、
は次の式で与えられる関数である。
シフトされた出力となる系は次のようになる。
従って 
は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。
ここで、系を作用素 
で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、
系の方程式が次のようであるとする。
この系が時不変であるとは、系の作用素 を に適用してからシフト作用素 を適用した場合と、シフト作用素 を適用してから系の作用素 を適用した場合で、結果が等価となる場合である。
系の作用素を先に適用すると、次のようになる。
シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。
従って、系が時不変なら次が成り立つ。
