二端子対回路

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二端子対回路(にたんしついかいろ、四端子回路とも)は、入力端子対と出力端子対の2組の端子からなる電気回路またはデバイス。例えばトランジスタ、フィルタ回路などがある。2端子対回路の分析は1920年代にドイツ人の数学者Franz Breisigによって研究が始められた。

[編集] 概要

二端子対回路は、入力と出力の電圧と電流の関係を調べるため、入力と出力の間にある回路を分離し、特有のパラメータで示すことが基本となる。このパラメータが決まると、入力と出力の間にある回路の細部を考える必要が無くなり、一つの特殊な特性を持った暗箱（ブラックボックス）にでき、回路の分析を単純化できる。暗箱に独立した出力端子がなければどんな回路もパラメータで表せ、二端子対回路に変形できる。

二端子対回路で入力と出力の電圧と電流の関係を示すパラメータの種類として「Zパラメータ」、「Yパラメータ」、「hパラメータ」、「gパラメータ」、「Fパラメータ」がある。これらのパラメータは行列で表現する。

V 1

入力電圧

V 2

出力電圧

I 1

入力電流

I 2

出力電流

[編集] Zパラメータ

インピーダンス行列、Z行列とも。

${V_1 \choose V_2} = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix}{I_1 \choose I_2}$

$Z 11$ ・ $Z 12$ ・ $Z 21$ ・ $Z 22$ の各インピーダンスパラメータは以下のとおり。

$Z_{11} = {V_1 \over I_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad Z_{12} = {V_1 \over I_2 } \bigg|_{I_1 = 0}$

$Z_{21} = {V_2 \over I_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad Z_{22} = {V_2 \over I_2 } \bigg|_{I_1 = 0}$

[編集] Yパラメータ

アドミタンス行列、Y行列とも。

${I_1 \choose I_2} = \begin{pmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{pmatrix}{V_1 \choose V_2}$

$Y 11$ ・ $Y 12$ ・ $Y 21$ ・ $Y 22$ の各アドミタンスパラメータは以下のとおり。

$Y_{11} = {I_1 \over V_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad Y_{12} = {I_1 \over V_2 } \bigg|_{V_1 = 0}$

$Y_{21} = {I_2 \over V_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad Y_{22} = {I_2 \over V_2 } \bigg|_{V_1 = 0}$

[編集] hパラメータ

ハイブリッド行列、h行列とも。

${V_1 \choose I_2} = \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{pmatrix}{I_1 \choose V_2}$

$h 11$ ・ $h 12$ ・ $h 21$ ・ $h 22$ の各ハイブリッドパラメータは以下のとおり。

$h_{11} = {V_1 \over I_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad h_{12} = {V_1 \over V_2 } \bigg|_{I_1 = 0}$

$h_{21} = {I_2 \over I_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad h_{22} = {I_2 \over V_2 } \bigg|_{I_1 = 0}$

[編集] gパラメータ

hパラメータの逆行列で定義される。

${I_1 \choose V_2} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}{V_1 \choose I_2}$

$g 11$ ・ $g 12$ ・ $g 21$ ・ $g 22$ 各パラメータは以下のとおり。

$g_{11} = {I_1 \over V_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad g_{12} = {I_1 \over I_2 } \bigg|_{V_1 = 0}$

$g_{21} = {V_2 \over V_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad g_{22} = {V_2 \over I_2 } \bigg|_{V_1 = 0}$

[編集] Fパラメータ

伝送行列、F行列、基本行列(Fundamental matrix)とも。縦続接続する際に都合がよくなる。

${V_1 \choose I_1} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}{V_2 \choose I_2}$

ここで、 $I 2$ は上の図とは逆の向きを正にとる。

A・B・C・Dの各四端子定数は以下のとおり。

$A = {V_1 \over V_2 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad B = {V_1 \over I_2 } \bigg|_{V_2 = 0}$

$C = {I_1 \over V_2 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad D = {I_1 \over I_2 } \bigg|_{V_2 = 0}$

[編集] 縦続接続

2つの異なる二端子対回路を縦続(cascade)に接続することを「縦続接続」と呼ぶ。Fパラメータを用いると都合がよい。ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のFパラメータとする。

${V_1 \choose I_1} = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{pmatrix}{V_2 \choose I_2}$

${V_2 \choose I_2} = \begin{pmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{pmatrix}{V_3 \choose I_3}$

このとき、 $V 1$ $I 1$ と $V 3$ $I 3$ には以下の関係が成り立つ。

${V_1 \choose I_1} = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{pmatrix} {V_3 \choose I_3}$

よって縦続接続したときの回路全体のFパラメータは以下となる。

$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1A_2+B_1C_2 & A_1B_2+B_1D_2 \\ C_1A_2+D_1C_2 & C_1B_2+D_1D_2 \end{pmatrix}$

[編集] 直列接続

2つの異なる二端子対回路を直列に接続することを「直列接続」と呼ぶ。Zパラメータを用いると都合がよい。ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のZパラメータとする。

${V_1' \choose V_2'} = \begin{pmatrix} Z_{11}' & Z_{12}' \\ Z_{21}' & Z_{22}' \end{pmatrix}{I_1' \choose I_2'}$

${V_1'' \choose V_2''} = \begin{pmatrix} Z_{11}'' & Z_{12}'' \\ Z_{21}'' & Z_{22}'' \end{pmatrix}{I_1'' \choose I_2''}$

このとき、 $V 1$ $V 2$ と $I 1$ $I 2$ は、 $V 1 = V 1' + V 1''$ 、 $V 2 = V 2' + V 2''$ 、 $I 1 = I 1' + I 1''$ 、 $I 2 = I 2' + I 2''$ の関係があるので、以下の関係が成り立つ。

${V_1 \choose V_2} = {V_1' \choose V_2'} + {V_1'' \choose V_2''} = \begin{pmatrix} Z_{11}' + Z_{11}'' & Z_{12}' + Z_{12}'' \\ Z_{21}' + Z_{21}'' & Z_{22}' + Z_{22}'' \end{pmatrix} {I_1 \choose I_2}$

よって直列接続したときの回路全体のZパラメータは以下となる。

$\begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Z_{11}' + Z_{11}'' & Z_{12}' + Z_{12}'' \\ Z_{21}' + Z_{21}'' & Z_{22}' + Z_{22}'' \end{pmatrix}$

[編集] 並列接続

2つの異なる二端子対回路を並列に接続することを「並列接続」と呼ぶ。Yパラメータを用いると都合がよい。ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のYパラメータとする

${I_1' \choose I_2'} = \begin{pmatrix} Y_{11}' & Y_{12}' \\ Y_{21}' & Y_{22}' \end{pmatrix}{V_1' \choose V_2'}$

${I_1'' \choose I_2''} = \begin{pmatrix} Y_{11}'' & Y_{12}'' \\ Y_{21}'' & Y_{22}'' \end{pmatrix}{V_1'' \choose V_2''}$

このとき、 $I 1$ $I 2$ と $V 1$ $V 2$ は、 $I 1 = I 1' + I 1''$ 、 $I 2 = I 2' + I 2''$ 、 $V 1 = V 1' + V 1''$ 、 $V 2 = V 2' + V 2''$ の関係があるので、以下の関係が成り立つ。

${I_1 \choose I_2} = {I_1' \choose I_2'} + {I_1'' \choose I_2''} = \begin{pmatrix} Y_{11}' + Y_{11}'' & Y_{12}' + Y_{12}'' \\ Y_{21}' + Y_{21}'' & Y_{22}' + Y_{22}'' \end{pmatrix} {V_1 \choose V_2}$

よって並列接続したときの回路全体のYパラメータは以下となる。

$\begin{pmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Y_{11}' + Y_{11}'' & Y_{12}' + Y_{12}'' \\ Y_{21}' + Y_{21}'' & Y_{22}' + Y_{22}'' \end{pmatrix}$