モールの定理

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主に建築構造設計で使われる、荷重をかけられたときの、梁のたわみを求めるために使われる定理。弾性荷重を計算し、梁の特性を決定する弾性理論の簡略版である。1750年に公表されたが、19世紀にエッフェル塔と観覧車が開発されるまで、大規模な応用はなされなかった。これらの成功した事例に基づき、この定理は、工学における要石となり、第二次産業革命を可能にした。

板曲げ理論や、有限要素法のような付加的な解析方法が開発れされたが、モールの定理のわかりやすさにより、特に構造工学、機械工学などの科学の分野で、重要な道具であり続けている。

英語圏では、"Mohr's Theorem"というよりも"Euler-Bernoulli beam equation"と呼ばれる。

en:Euler-Bernoulli_beam_equation

[編集] 導かれた梁の例

en:Euler-Bernoulli_beam_equationより

下記の例において、記号は以下の通り　:

$R$ は、せん断力。
$M$ は、曲げモーメント。
$Q$ は、梁のたわみ角。
$u$ は、たわみ（変異量）。
$E$ は、ヤング係数。
$I$ は、断面二次モーメント（もしくは、慣性モーメント）

モールの定理あ、線形であるので、下の礼は、加算したり減算したりすることができ、より複雑な場合に適用できる。たとえば、単純梁に等分布荷重がかかったときのせん断力、モーメント、たわみと、中心荷重の単純梁のせん断力、モーメント、たわみにたすことにより、複合した力のかかった梁のせん断力、モーメント、たわみを求めることができる。

中央荷重の単純梁

せん断力	$R(x) = \frac{F}{2}$	$R_A = R_C = \frac{F}{2}$
モーメント	$M(x) = \begin{cases} \frac{Fx}{2}, & \mbox{for }x = 0 \mbox{ to }x=L/2 \\ \frac{F(x-L)}{2}, & \mbox{for }x = L/2 \mbox{ to } x=0 \end{cases}$	$M_B = \frac{FL}{4}$
たわみ角	$Q(x) = \begin{cases} \frac{Fx^2}{4EI}-\frac{FL^2}{16EI}, & \mbox{for }x = 0 \mbox{ to }x = L/2 \\ \frac{F(x-L)^2}{4EI}-\frac{FL^2}{16EI}, & \mbox{for }x = L/2 \mbox{ to }x=L \end{cases}$	$Q_A = Q_C = \frac{FL^2}{16EI}$
たわみ	$u(x) = \begin{cases} \frac{Fx^3}{12EI}-\frac{FxL^2}{16EI}, & \mbox{for }x = 0 \mbox{ to }x = L/2 \\ \frac{F(x-L)^3}{12EI}-\frac{F(x-L)L^2}{16EI}, & \mbox{for }x = L/2 \mbox{ to }x=L \end{cases}$	$u_B = \frac{FL^3}{48EI}$

等分布荷重の単純梁

せん断力	$R(x) = -wx+\frac{wL}{2}$	$R_A = R_C = \frac{wL}{2}$
モーメント	$M(x) = \frac{-wx^2}{2}+\frac{wxL}{2}$	$M_B = \frac{wL^2}{8}$
たわみ角	$Q(x) = \frac{-wx^3}{6EI}+\frac{wx^2L}{4EI}-\frac{wL^3}{24EI}$	$Q_A = Q_C = \frac{wL^3}{24EI}$
たわみ	$u(x) = \frac{-wx^4}{24EI}+\frac{wx^3L}{12EI}-\frac{wxL^3}{24EI}$	$u_B = \frac{5wL^4}{384EI}$

等分布荷重の両端固定梁

せん断力	$R(x) = {-wx}+\frac{wL}{2}$	$R_A = R_C = \frac{wL}{2}$
モーメント	$M(x) = \frac{-wx^2}{2}+\frac{wxL}{2}-\frac{wL^2}{12}$	$M_A = M_C = \frac{wL^2}{12}$ $M_B = \frac{wL^2}{24}$
たわみ角	$Q(x) = \frac{-wx^3}{6EI}+\frac{wx^2L}{4EI}-\frac{wxL^2}{12EI}$	$Q A = Q B = Q C = 0$
たわみ	$u(x) = \frac{-wx^4}{24EI}+\frac{wx^3L}{12EI}-\frac{wx^2L^2}{24EI}$	$u_B = \frac{wL^4}{384EI}$

一端荷重の片持ち梁

せん断力	$R (x) = - F$	$R B = - F$
モーメント	$M (x) = - F x$	$M B = - F L$
たわみ角	$Q(x) = \frac{-Fx^2}{2EI}+\frac{FL^2}{2EI}$	$Q_A = \frac{-FL^2}{2EI}$
たわみ	$u(x) = \frac{-Fx^3}{6EI}+\frac{FxL^2}{2EI}-\frac{FL^3}{3EI}$	$u_B = \frac{-FL^3}{3EI}$

等分布荷重の片持ち梁

せん断力	$R (x) = - w x$	$R B = - w L$
モーメント	$M(x) = \frac{-wx^2}{2}$	$M_B = \frac{-wL^2}{2}$
たわみ角	$Q(x) = \frac{-wx^3}{6EI}+\frac{wL^3}{6EI}$	$Q_A = \frac{-wL^3}{6EI}$ $Q B = 0$
たわみ	$u(x) = \frac{-wx^4}{24EI}+\frac{wxL^3}{6EI}-\frac{wL^4}{12EI}$	$u_B = \frac{wL^4}{12EI}$

等分布荷重の一端ピン支持片持ち梁

せん断力	$R(x) = wx-\frac{3wL}{8}$	$R_A = \frac{-3wL}{8}$ $R_C=\frac{5wL}{8}$
モーメント	$M(x) = \frac{wx^2}{2}-\frac{3wxL}{8}$	$M_{B} = \frac{9wL^2}{128} \mbox{ at } x=\frac{3L}{8}$ $M_C = \frac{-wL^2}{8}$
たわみ角	$Q(x) = \frac{-wx^3}{6EI}-\frac{3wx^2L}{16EI}+\frac{wL^3}{48EI}$	$Q_A = \frac{-wL^3}{48EI}$
たわみ	$u(x) = \frac{wx^4}{24EI}-\frac{3wx^3L}{48EI}+\frac{wxL^3}{48EI}$	$u_{max} = \frac{wL^4}{185EI} \mbox{ at } x=0.4215L$