モーメント (数学)

モーメント (moment) は、物理量のモーメントを数学に一般化した概念である。

関数 $f(x)\,$ の $n$ 次モーメント $\mu^{(0)}_n$ は、

$\mu^{(0)}_n=\int_{-\infty}^\infty x^n f(x) dx$

で表される。 $\mu = \mu^{(0)}_1 / \mu^{(0)}_0$ は関数の重心を表す。

関数 $f(x)\,$ の $c$ 周りの $n$ 次モーメント $\mu^{(c)}_n$ は、

$\mu^{(c)}_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n f(x) dx$

で表される。

重心周りのモーメントを中心モーメントまたは中心化モーメントといい、

$\mu_n=\int_{-\infty}^\infty (x - \mu)^n f(x) dx$

で表される。中心化モーメントを単にモーメントということもある。

[編集] 確率分布のモーメント

確率密度関数 $f(x)\,$ のモーメントには、次の性質がある。

$\mu^{(0)}_0 = 1$ 。
$\mu = \mu^{(0)}_1$ は平均値。
$\sigma^2 = \mu_2 = \mu^{(0)}_2 - (\mu^{(0)}_1)^2$ は分散、 $\sigma = \sqrt{\mu_2}$ は標準偏差。
$\gamma_1 = \mu_3 / \sigma^3\,$ は歪度。
$\gamma_2 = \mu_4 / \sigma^4 - 3\,$ は尖度。

変量統計においては、データ $x_{1, \cdots, N}$ のモーメントは

$\mu^{(0)}_n = \sum_{i = 1}^n x_i^n$

$\mu^{(c)}_n = \sum_{i = 1}^n (x_i - c)^n$

$\mu_n = \sum_{i = 1}^n (x_i - \mu)^n$

で表される。

変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。

$\mu^{(0)}_0 = N$ 。
$\mu = \mu^{(0)}_1 / N$ は平均値。
$\sigma^2 = \mu_2 / N^2 = \{ \mu^{(0)}_2 - (\mu^{(0)}_1)^2 \} / N ^2$ は分散、 $\sigma = \sqrt{\mu_2} / N$ は標準偏差。
$\gamma_1 = \mu_3 / (N \sigma)^3\,$ は歪度。
$\gamma_2 = \mu_4 / (N \sigma)^4 - 3\,$ は尖度。

2変数関数 $f(x, y)\,$ の $(m + n)$ 次モーメント $\mu^{(0)}_{mn}$ は、

$\mu^{(0)}_{mn} = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x^m y^n f(x, y) dxdy$

または、デジタル画像に対しては、

$\mu^{(0)}_{mn} = \sum_{x} \sum_{y} x^m y^n f(x, y)$

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。

$\mu^{(0)}_{00}$ は面積。
点 $(\mu^{(0)}_{10} / \mu^{(0)}_{00}, \mu^{(0)}_{01} / \mu^{(0)}_{00})$ は重心。
慣性主軸（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは $tanθ$ で、 $θ$ は $\tan 2\theta = 2 \mu^{(0)}_{11} / (\mu^{(0)}_{20} - \mu^{(0)}_{02})$ をみたす。
慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを $\mu^{(0)}_{00}$ で割った値は拡大縮小に対し不変。