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ヘヴィサイドの定理 - Wikipedia

ヘヴィサイドの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

ヘヴィサイドの定理（ヘヴィサイドのていり）とは、部分分数に分解するとき、分子の値を決定するための定理。オリヴァー・ヘヴィサイドに帰せられる。

f(x) = \sum_i \frac{k_i}{(x - p_i)^{n_i}}

とf(x)が部分分数に展開できるとき分子の値kiは

k_i = \frac{1}{(n_i - 1)!}\lim_{x\to{p_i}}\frac{d^{n_i-1}}{dx^{n_i-1}}(x-p_i)^{n_i}f(x)

である。特に分母の次数niが1であるとき

k_i = \lim_{x\to{p_i}}(x - p_i)f(x)

ここでxは複素数でも成立し、複素平面上の極piでの留数kiを求めるための定理とも説明される。ヘビサイドの定理の導出は留数の計算を見られたし。

[編集] 例

例えば、

f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}

を部分分数に展開する。

f(x) = \frac{k_0}{x+1} + \frac{k_1}{x-1}

ここで、ヘヴィサイドの定理を利用して

k_0 = \lim_{x\to-1}(x + 1)\frac{x}{(x+1)(x-1)}
k_1 = \lim_{x\to1}(x - 1) \frac{x}{(x+1)(x-1)}

これを解いて

k_0 = \frac{1}{2}
k_1 = \frac{1}{2}

したがって

f(x) = \frac{ \frac{1}{2} }{x+1} + \frac{ \frac{1}{2} }{x-1}

となる。

[編集] 関連項目


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