アベル・プラナの和公式

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数学において、アベル・プラナの和公式(Abel-plana summation formula)は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である^[1]。

$\begin{align} &\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n)=\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{+\infty}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy,\qquad(a,b\not\in\mathbb{Z})\\ &\sum_{n=a}^{b}f(n)=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{+\infty}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy,\qquad(a,b\in\mathbb{Z})\\ \end{align}$

但し、 $f (x + i y)$ が $a{\le}x{\le}b$ において正則であり、 $x$ について一様に

$\lim_{y\to+\infty}e^{-2{\pi}y}f(x{\pm}iy)=0$

であることを条件とする。更に

$\lim_{x\to+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{f(x{\pm}iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy=0$

であれば

$\sum_{n=0}^{\infty}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+\int_{0}^{+\infty}f(z)dz+i\int_{0}^{+\infty}\frac{f(iy)-f(-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dz$

となる。

[編集] 証明

$πcotπ z$ は $\forall{z\in\mathbb{Z}}$ に位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路 $C$ が実軸を $a, b$ で切るようにすれば、留数の定理により、

$2{\pi}i\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n)=\oint_C\pi\cot{{\pi}z}f(z)dz$

である。積分経路の表記を

$\begin{align} &C_1:a,a+i\infty,b+i\infty,b\\ &C_2:a,a-i\infty,b-i\infty,b\\ \end{align}$

とすると、

$\begin{align}2\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n) &=-i\oint_C\cot{{\pi}z}f(z)dz\\ &=-i\oint_{C_2-C_1}\cot{{\pi}z}f(z)dz\\ &=-\int_{C_2}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz+\int_{C_2}f(z)-\int_{C_1}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz+\int_{C_1}f(z)dz\\ \end{align}$

であるが、 $f (z)$ は仮定により正則であるから、

$\begin{align}2\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n) &=2\int_{a}^{b}f(z)dz-\int_{C_1}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz-\int_{C_2}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz\\ \end{align}$

である。さて、

$\begin{align} &\begin{align}\left|1-i\cot{{\pi}z}\right| &=\left|1+\frac{e^{{\pi}iz}+e^{-{\pi}iz}}{e^{{\pi}iz}-e^{-{\pi}iz}}\right|\\ &=\left|\frac{2e^{{\pi}iz}}{e^{-{\pi}iz}}\cdot\frac{e^{-{\pi}iz}}{e^{{\pi}iz}-e^{-{\pi}iz}}\right|\\ &=\left|\frac{2e^{{\pi}iz}}{e^{-{\pi}iz}}\cdot\frac{e^{\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\right|\le\left|3e^{2{\pi}iz}\right|\qquad(\image{z}{\ge}1)\\ \end{align}\\ &\begin{align}\left|1+i\cot{{\pi}z}\right| &=\left|\frac{2e^{-{\pi}iz}}{e^{{\pi}iz}}\cdot\frac{e^{\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\right|\le\left|3e^{-2{\pi}iz}\right|\qquad(\image{z}{\le}-1)\\ \end{align}\\ \end{align}$

であり、仮定により

$\lim_{x\to\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-2{\pi}y}\left|f(x{\pm}iy)\right|dy=0$

であるから

$\begin{align} &\begin{align}\int_{C_1}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz&=\int_{b}^{b+i\infty}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz+\int_{a+i\infty}^{a}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz\\ &=\int_{0}^{i\infty}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(b+z)dz-\int_{0}^{i\infty}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(a+z)dz\qquad(z\rightarrow{b+z,a+z})\\ &=\int_{0}^{\infty}\left(i+\cot{{\pi}iy}\right)f(b+iy)dy-\int_{0}^{\infty}\left(i+\cot{{\pi}iy}\right)f(a+iy)dy\qquad(z\rightarrow{iy})\\ \end{align}\\ &\begin{align}\int_{C_2}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz&=\int_{a}^{a-i\infty}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz+\int_{b-i\infty}^{b}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz\\ &=\int_{0}^{i\infty}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(a-z)dz-\int_{0}^{i\infty}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(b-z)dz\qquad(z\rightarrow{a-z,b-z})\\ &=\int_{0}^{\infty}\left(i+\cot{{\pi}iy}\right)f(a-iy)dz-\int_{0}^{\infty}\left(i+\cot{{\pi}iy}\right)f(b-iy)dz\qquad(z\rightarrow{iy})\\ \end{align}\\ \end{align}$

である。また、

$i+\cot{\pi}iy=i+i\frac{e^{-{\pi}y}+e^{{\pi}y}}{e^{-{\pi}y}-e^{{\pi}y}}=\frac{2ie^{-{\pi}y}}{e^{-{\pi}y}-e^{{\pi}y}}=\frac{2i}{e^{2{\pi}y}-1}$

であるから、以上を綜合して

$\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n)=\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy,\qquad(a,b\not\in\mathbb{Z})$

を得る。また、 $a, b$ が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、

$\sum_{n=a}^{b}f(n)=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy,\qquad(a,b\in\mathbb{Z})$

となる。

[編集] オイラーの和公式との関係

$f(a\pm{iy})$ を $a$ を中心としたテイラー級数に、 $f(b\pm{iy})$ を $b$ を中心としたテイラー級数に展開すると、

$\begin{align}\sum_{n=a}^{b}f(n) &=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy\\ &=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)(iy)^k-f^{(k)}(a)(-iy)^k-f^{(k)}(b)(iy)^k+f^{(k)}(b)(-iy)^k}{\left(e^{2{\pi}y}-1\right)k!}dy\\ &=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+2\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{f^{(2k-1)}(a)-f^{(2k-1)}(b)}{(2k-1)!}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{2k-1}}{e^{2{\pi}y}-1}dy\\ \end{align}$

となるが、最後の積分は

$\begin{align}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{2k-1}}{e^{2{\pi}y}-1}dy &=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-2{\pi}y}y^{2k-1}}{1-e^{-2{\pi}y}}dy\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-2{\pi}ny}y^{2k-1}dy\\ &=\frac{1}{(2{\pi})^{2k}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{2k-1}dt\qquad(t=2{\pi}ny)\\ &=\frac{(2k-1)!}{(2{\pi})^{2k}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}\\ &=\frac{(-1)^{k-1}B_{2k}}{4k}\\ \end{align}$

であるから

$\begin{align}\sum_{n=a}^{b}f(n) &=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\\ \end{align}$