Teorema di Taylor

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In analisi matematica i polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare, molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il mezzo con il quale si pratica tale approssimazione è il polinomio di Taylor. Esso è una diretta conseguenza del Teorema di Lagrange: in effetti ad una funzione differenziabile in un punto $x \in (a,b) \subset \mathcal{R}$ si può applicare il teorema di Lagrange:

$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(\xi)$

dove $\xi \in (a,b)$ . Da questa si ricava:

$f(x) = f(a) + f'(\xi) (x-a)\quad$

e data la generalità dei punti scelti vale in tutti i punti in cui la funzione è differenziabile. Questa non è altro che la retta tangente della funzione f nel punto x e che è un polinomio di primo grado che approssima la funzione f(x) in un intorno di x. Partendo da questa possiamo enunciare il:

Definizione: Teorema di Taylor

Sia $f: [a,b] \to \R$ derivabile n volte nell'intervallo (a,b). Sia x₀ un punto appartenente a questo intervallo. Si ha:

$f(x)=Tf(x) + o( (x-x_0)^n )_{per x \to x_0}$

Dove Tf(x) è detto "polinomio di Taylor":

$Tf(x) = f(x_0) + f^'(x_0)(x-x_0)+ { {f^{''}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ... + {{f^n(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n$

Una definizione alternativa, ma del tutto equivalente è:

Sia $f: [a,b] \to \R$ derivabile n volte nell'intervallo (a,b). Sia x₀ un punto appartenente a questo intervallo. Si ha:

$f(x) = \sum_{k=0}^n {{f^k(x_0)}\over{k!}}(x-x_0)^k + R_n(x) \ \forall x \in (a,b)$

con R_n(x) un infinitesimo di ordine superiore a (x-x₀)ⁿ cioè:

$\lim_{x \to x_0}{R_n(x)\over(x-x_0)^n} = 0$

R_n(x) si dice "resto nella forma di Lagrange".

Se n = 1 si ottiene la formula di Taylor del primo ordine. Se n = 2 si ottiene la formula di Taylor del secondo ordine. Per qualunque n si ottiene un polinomio di grado n.

Sappiamo inotre che l'errore che si commette approssimando la funzione con il polinomio di Taylor è quantificabile:

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}.$

con $ξ$ un punto tra $x$ e $x 0$ ; se la derivata (n+1)-esima è limitata: $|f^{n+1}(x_0)| \le M$ allora:

$|f(x) - P_n (x)| \le \frac {M}{n+1!} |x - x_0|^{n+1}$ .

[modifica] Dimostrazione

Dimostreremo ora il teorema di Taylor con Resto di Peano:

Sia $f:[x_0,x_0+h] \to \R$ con $h>0\quad$ esista in $x_0\quad$ la derivata n-esima, $f^{n}(x_0)\quad$ . Allora vale la formula

$f(x) = \sum_{k=0}^n {{f^k(x_0)}\over k!}h^k + o( h^n ) \ \forall x \in (a,b)$

Otterremo la tesi se dimostreremo la seguente relazione di limite:

$\lim_{h \to 0} {{1}\over{h^n}}[f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h-\dots-f^{n}(x_0){{h^n}\over{k!}}] = 0$ $(1)\quad$

Dimostriamola per induzione. Per $n=1\quad$ è vera; infatti se esiste $f'(x_0)\quad$ coincide con la definizione di differenziabilità per una funzione di una variabile:

$\lim_{h \to 0} {{f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h}\over{h^n}}= 0$

Supponiamola vera per $(n-1)\quad$ e dimostriamola per $n\quad$ . Il rapporto che compare nella $(1)\quad$ si presenta nella forma di indecisione ${{0}\over{0}}$ per $h\to 0\quad$ . Possiamo utilizzare il teorema de l'Hopital e allora il limite nella $(1)\quad$ coincide con $\lim_{h \to 0} {{f'(x_0+h)-f'(x_0)-f''(x_0)h-\dots-f^{n}(x_0){{h^{n-1}}\over{(n-1)!}}}\over{nh^{n-1}}} = 0$ $(2)\quad$

nel caso quest'ultimo limite esista. Nelle nostre ipotesi la funzione $f'(x)\quad$ , che è definita in un intorno destro di $x_0\quad$ , è derivabile $(n-1)\quad$ volte in $x_0\quad$ e quindi, ricordando che

$f^k(x_0)={{d^{k-1}f'}\over{dx^{k-1}}}(x_0)$ $\forall k, 1\leq k \geq n$

per l'ipotesi d'induzione segue che il limite nella $(2)\quad$ è zero.

[modifica] Formula di Taylor per funzioni di due variabili

Per funzioni di più variabili, la scrittura completa si fa più pesante e fa uso dei multiindici:

$f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{D^\alpha f(a)}{\alpha!}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha$

Formula di Taylor di ordine 1

Sia $f (x 0, y 0)$ una funzione di classe $C 2$ e vogliamo calcolare il polinomio di Taylor in $(x 0, y 0)$ allora:

$f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k + R(h,k)$

dove $h = x - x 0$ e $k = y - y 0$ ed $R (h, k)$ è il resto che equivale a:

$R(h,k) = \frac {1}{2!} [f_{xx} (x_a,y_a) h^2 + 2 f_{xy}(x_a,y_a) hk + f_{yy}(x_a,y_a) k^2]$

Vale come per le funzioni di una variabile che se le derivate seconde sono limitate da un numero M, allora l'errore equivale:

$|R| \le M(h^2+k^2)$

Formula di Taylor di ordine 2

Con le stesse notazioni abbiamo:

$f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +$

$+ \frac {1}{2!} [f_{xx} (x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2] + R(h,k)$

Formula di Taylor di ordine 3

$f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +$

$\frac {1}{2!} [f_{xx}(x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2]+$

$+ \frac {1}{3!} [f_{xxx} (x_0,y_0) h^3 + 3 f_{xxy}(x_0,y_0) h^2 k + 3 f_{xyy}(x_0,y_0)h k^2 + f_{yyy} (x_0,y_0) k^3] + R(h,k)$

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Serie di Taylor

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