Teorema della media pesata
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Il teorema della media pesata è una generalizzazione del teorema della media integrale. L'idea è analoga a quella del teorema della media con la differenza che la misura del dominio di integrazione [a,b] è distribuita in un modo non uniforme regolato da una funzione continua che ne stabilisce densità in ogni punto.
[modifica] Enunciato
Siano f e g due funzioni continue in un intervallo ![[a,b]\,\!](../../../../math/8/b/5/8b596d04e319e05cadcc7dcf251a9815.png)
e sia 
di segno costante in (sempre positive o sempre negative nell'intervallo). Allora esiste un punto ![c \in [a,b]](../../../../math/0/0/a/00a49aece4cc72157b51ca282347a0f8.png)
tale che 
.
[modifica] Dimostrazione
Si può sfruttare il Teorema di Weierstrass in quanto f è continua. Allora esistono un m e M tali che 
. Si prenda 
, quindi 
. Usando il teorema del confronto e la linearità degli integrali si ottiene 
; dividendo per l'integrale stesso si ottiene 
e per la continuità di f il valore al centro di questa catena di diseguaglianze dovrà essere uguale ad 
per qualche .
[modifica] Voci correlate
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica
